Стереометрия · 369 заданий ФИПИ с ответами
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 5 и 6,
а второго — 3 и 4. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой поверхности второго конуса?
Проверяется площадь боковой поверхности конуса. Она равна S = πrl, где r — радиус основания, l — образующая. Отношение площадей равно (π · 5 · 6) / (π · 3 · 4) = 30 / 12 = 2,5.
Ответ: 2,5.
| Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 6 и 14, |
|
Задание проверяет площадь боковой поверхности цилиндра и сравнение площадей. Используем формулу S = 2πrh: для первого цилиндра S₁ = 2π · 6 · 14 = 168π, для второго S₂ = 2π · 7 · 3 = 42π. Отношение S₁/S₂ = 168π/42π = 4.
Ответ: 4.
| Пирамида Снофру имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 220 м, а высота 104 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 44 см. Найдите высоту музейной копии. Ответ дайте |
|
Проверяется подобие тел и изменение линейных размеров. Сторона основания уменьшилась с 220 м до 44 см, то есть в 500 раз: 220 м = 22 000 см, а 22 000 / 44 = 500. Высота копии равна 104 м / 500 = 0,208 м = 20,8 см.
Ответ: 20,8.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
| Радиус основания цилиндра равен 10, а его образующая |
|
Проверяется площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси. Образующая цилиндра — его высота, поэтому высота сечения равна 19. Ширина сечения — хорда основания на расстоянии 6 от центра: 2√(10² − 6²) = 16. Площадь сечения равна 19 · 16 = 304.
Ответ: 304.
| В прямоугольном параллелепипеде рёбра и диагональ боковой грани равны соответственно 4, 6 и 5. Найдите объём параллелепипеда |
|
Проверяются диагональ прямоугольника и объём прямоугольного параллелепипеда. По теореме Пифагора для боковой грани: AB₁² = AB² + AA₁², значит 5² = 4² + AA₁² и AA₁ = 3. Тогда объём равен 4 · 6 · 3 = 72.
Ответ: 72.
| В треугольной пирамиде рёбра , и взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если и |
|
Проверяется умение находить объём пирамиды с взаимно перпендикулярными рёбрами.
Возьмём основанием прямоугольный треугольник с катетами 4 и 12: его площадь равна 4 · 12 / 2 = 24. Высота пирамиды равна третьему перпендикулярному ребру, то есть 1, поэтому V = 1/3 · 24 · 1 = 8.
Ответ: 8.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2, а высота пирамиды равна Найдите объём этой пирамиды.
Задание проверяет вычисление объёма пирамиды.
Площадь основания — равностороннего треугольника со стороной 2 — равна 2²√3/4 = √3. Объём равен одной трети произведения площади основания на высоту: V = (1/3)·√3·9√3 = 9.
Ответ: 9.
| Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 3 и 2, |
|
Проверяются объём цилиндра и отношение объёмов. Для цилиндра V = πr²h, поэтому отношение объёмов равно 8² · 9 / (3² · 2) = 576 / 18 = 32.
Ответ: 32.
Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 42, а боковые рёбра равны 29. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Задание проверяет площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды. Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами 29, 29 и 42; его высота к основанию равна √(29² − 21²) = 20. Площадь одной грани равна 42 · 20 / 2 = 420, а трёх граней — 3 · 420 = 1260.
Ответ: 1260
| Объём конуса равен а радиус его основания равен 2. Найдите длину высоты этого конуса. |
|
Объём конуса находят по формуле V = πr²h/3. Подставим V = 24π и r = 2: 24π = 4πh/3, поэтому h = 18. Ответ: 18.
| Однородный шар диаметром 6 см весит 432 грамма. Сколько граммов весит шар диаметром 4 см, изготовленный из того же материала? |
|
Проверяется изменение массы шара при изменении его диаметра. Для одного материала масса пропорциональна объёму, а объёмы шаров относятся как кубы диаметров.
Масса шара диаметром 4 см равна 432 · (4/6)³ = 128 г.
Ответ: 128.
Однородный шар диаметром 3 см весит 54 грамма. Сколько граммов весит шар диаметром 5 см, изготовленный из того же материала?
Задание проверяет связь объёма шара с его диаметром и массу однородного тела. При одинаковом материале масса пропорциональна объёму, а объёмы шаров относятся как кубы диаметров. Поэтому масса второго шара равна 54 · (5/3)³ = 54 · 125/27 = 250 г.
Ответ: 250
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны, соответственно, 2 и 9, а второго 2 и 9. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого?
Проверяется площадь боковой поверхности конуса. Она равна πrl; у обоих конусов радиус основания 2 и образующая 9, значит, площади равны. Их отношение равно 1.
Ответ: 1.
| В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 4, а гипотенуза равна . Найдите объём призмы, если её высота равна 3. |
|
Задание проверяет объём прямой призмы: V = Sоснh. В основании — прямоугольный треугольник; второй катет по теореме Пифагора равен √((4√2)² − 4²) = 4.
Площадь основания равна 1/2 · 4 · 4 = 8. Поэтому объём призмы равен 8 · 3 = 24.
Ответ: 24.
| Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 12 и 5, а объём параллелепипеда равен 540. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда. |
|
Проверяется объём и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда. Третье ребро равно 540 : (12 · 5) = 9. Площадь поверхности равна 2(ab + bc + ac) = 2(12 · 5 + 5 · 9 + 12 · 9) = 426.
Ответ: 426.
| Объём конуса равен , а его высота равна 3. Найдите радиус основания конуса. |
|
Объём конуса вычисляется по формуле V = (1/3)πr²h. Подставим известные значения: 16π = (1/3) · πr² · 3 = πr². Значит, r² = 16, а радиус r = 4.
Ответ: 4.
Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 10, а боковые рёбра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Проверяется площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды. Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами 13, 13 и основанием 10. Высота грани равна √(13² − 5²) = 12, поэтому площадь одной грани равна 10 · 12/2 = 60. Таких граней три, значит, площадь боковой поверхности равна 180.
Ответ: 180.
Даны два шара с радиусами 4 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего шара?
Задание проверяет, как объём шара зависит от радиуса.
Формула объёма шара: V = 4πr³/3. Отношение объёмов равно (4/1)³ = 64.
Ответ: 64.
| Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2, а высота этой призмы равна . Найдите объём призмы . |
|
Проверяется вычисление объёма призмы: он равен площади основания, умноженной на высоту. Основание — равносторонний треугольник со стороной 2, его площадь равна 2²√3 / 4 = √3. Тогда объём равен √3 · √3 = 3.
Ответ: 3
| Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 4 и 2, |
|
Проверяются объём и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда. Третье ребро равно 56 : (4 · 2) = 7.
Площадь поверхности равна 2 · (4 · 2 + 4 · 7 + 2 · 7) = 2 · 50 = 100.
Ответ: 100.
