Стереометрия · 369 заданий ФИПИ с ответами
Даны два шара с радиусами 8 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?
Проверяется зависимость объёма шара от радиуса: V = 4πr³/3. Отношение объёмов равно отношению кубов радиусов: 8³/1³ = 512.
Ответ: 512.
| Плоскость, проходящая через точки и (см. рисунок), разбивает правильную треугольную призму на два многогранника. Сколько рёбер у получившегося многогранника с бо́льшим числом вершин? |
|
Задание проверяет подсчёт элементов многогранника после сечения. По рисунку у части призмы с бо́льшим числом вершин 7 вершин и 7 граней. По формуле Эйлера V − E + F = 2 получаем E = V + F − 2 = 7 + 7 − 2 = 12.
Ответ: 12
В основании пирамиды лежит правильный треугольник со стороной 2, а боковое ребро перпендикулярно основанию и равно Найдите объём пирамиды
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Основание — равносторонний треугольник со стороной 2, его площадь равна 2²√3 / 4 = √3. Высота пирамиды равна 4√3, поэтому V = √3 · 4√3 / 3 = 4. Ответ: 4.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
| В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3, а гипотенуза равна . Найдите объём призмы, если её высота равна 4. |
|
Задание на объём прямой призмы: V = Sосн · h. По теореме Пифагора второй катет основания равен √((√34)² − 3²) = √25 = 5.
Площадь треугольного основания равна 3 · 5 / 2 = 7,5. Тогда объём призмы равен 7,5 · 4 = 30.
Ответ: 30.
| В прямоугольном параллелепипеде |
|
Задание проверяет объём прямоугольного параллелепипеда и теорему Пифагора. По рисунку диагональ боковой грани равна √20, а её стороны — 4 и неизвестное ребро x.
По теореме Пифагора: 4² + x² = (√20)², откуда x = 2. Третье ребро равно 2, поэтому объём равен 4 · 2 · 2 = 16.
Ответ: 16.
| Сторона основания правильной треугольной призмы равна 1, а высота этой призмы равна . Найдите объём призмы . |
|
Задание проверяет нахождение объёма призмы: V = Sосн · h. Основание — равносторонний треугольник со стороной 1, его площадь равна √3 / 4.
Тогда V = (√3 / 4) · 3√3 = 9 / 4 = 2,25.
Ответ: 2,25.
Даны два шара с радиусами 2 и 1. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?
Задание проверяет отношение площадей поверхностей шара. Площадь равна 4πr², поэтому отношение площадей равно квадрату отношения радиусов: (2/1)² = 4.
Ответ: 4
Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в четыре раза выше второй, а вторая — в полтора раза у́же первой. Во сколько раз объём первой кружки больше объёма второй?
Задание проверяет объём цилиндра: V = πr²h. Первая кружка в 4 раза выше, а её радиус в 1,5 раза больше радиуса второй, поэтому отношение объёмов равно 1,5² · 4 = 9.
Ответ: 9
Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 9 и 8,
а второго 4 и 9. Во сколько раз объём первого цилиндра больше объёма второго?
Задание проверяет формулу объёма цилиндра: V = πr²h. Отношение объёмов равно отношению r²h: (9² · 8) / (4² · 9) = 648 / 144 = 4,5.
Ответ: 4,5.
| Через точку, делящую высоту конуса в отношении , считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём данного конуса, если объём конуса, отсечённого проведённой плоскостью, равен 8. |
|
Задание проверяет объём конуса и подобие тел. Малый конус имеет высоту 1/5 высоты исходного, значит, его объём составляет (1/5)³ = 1/125 объёма исходного. Поэтому объём исходного конуса равен 8 · 125 = 1000.
Ответ: 1000
| Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в четыре раза выше второй, а вторая в полтора раза у́же первой. Во сколько раз объём второй коробки меньше объёма первой? |
|
Задание проверяет объём правильной четырёхугольной призмы: V = Sосн · h. Пусть ширина первой коробки равна a, тогда ширина второй — a/1,5 = 2a/3, а её площадь основания составляет (2/3)² = 4/9 площади основания первой. Высота второй коробки в 4 раза меньше, поэтому её объём составляет 4/9 · 1/4 = 1/9 объёма первой. Значит, объём первой коробки в 9 раз больше объёма второй.
Ответ: 9
| Однородный шар диаметром 3 см весит 108 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 2 см, изготовленный из того же материала? |
|
Задание проверяет связь объёмов шаров одного материала с их массой. Масса пропорциональна объёму, а объёмы шаров относятся как кубы диаметров: (2/3)³ = 8/27. Значит, масса меньшего шара равна 108 · 8/27 = 32 г.
Ответ: 32.
| Объём конуса равен , а его высота равна 4. Найдите радиус основания конуса. |
|
Проверяется применение формулы объёма конуса: V = πr²h / 3.
Подставим объём 48π и высоту 4: 48π = 4πr² / 3. Тогда r² = 36, а радиус r = 6.
Ответ: 6.
| Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 9 и 5, |
|
Проверяется умение находить площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда по рёбрам и объёму.
Третье ребро равно 540 / (9 · 5) = 12. Площадь поверхности равна 2 · (9 · 5 + 9 · 12 + 5 · 12) = 426.
Ответ: 426.
Даны два шара с радиусами 5 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?
Объём шара вычисляется по формуле V = 4πr³ / 3. При сравнении объёмов одинаковый множитель сокращается, поэтому отношение равно отношению кубов радиусов.
5³ / 1³ = 125.
Ответ: 125.
| Объём конуса равен 40. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью. |
|
Задание проверяет подобие конусов и изменение объёма при изменении линейных размеров. Отсекаемый конус имеет высоту вдвое меньше исходной, поэтому все его линейные размеры в 2 раза меньше. Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия: 40 · (1/2)³ = 5.
Ответ: 5.
В треугольной пирамиде рёбра и взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если и
Задание проверяет объём пирамиды с взаимно перпендикулярными рёбрами. В качестве основания возьмём прямоугольный треугольник с катетами 2 и 15: его площадь равна 2 · 15 : 2 = 15, а высота пирамиды равна 13. Тогда V = 15 · 13 : 3 = 65.
Ответ: 65.
Даны два конуса. Радиус основания
и образующая первого конуса равны соответственно 2 и 4, а второго 6 и 8.
Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого конуса?
Проверяется формула площади боковой поверхности конуса: S = πrl. Отношение площади второго конуса к площади первого равно (6 · 8)/(2 · 4) = 6. Ответ: 6.
Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 2 и 9, а второго 2 и 2.
Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго конуса?
Проверяется формула объёма конуса: V = ⅓πr²h. У обоих конусов одинаковый радиус основания, поэтому отношение объёмов равно отношению высот: 9 : 2 = 4,5.
Ответ: 4,5.
| Объём конуса равен 108. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью. |
|
Точка делит высоту в отношении 1:2, считая от вершины, значит высота отсечённого конуса составляет 1 / 3 высоты исходного. Конусы подобны, поэтому их объёмы относятся как кубы коэффициента подобия.
Объём отсечённого конуса равен 108 · (1 / 3)³ = 108 / 27 = 4.
Ответ: 4.
рёбра 
, 
и диагональ 
боковой грани равны соответственно 4, 2 и 
. Найдите объём параллелепипеда 
