Стереометрия · 369 заданий ФИПИ с ответами
Даны два шара с радиусами 9 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?
Задание проверяет связь объёмов подобных шаров и их радиусов. Объём шара пропорционален кубу радиуса, поэтому отношение объёмов равно (9/1)³ = 729. Ответ: 729.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2, а высота пирамиды равна Найдите объём этой пирамиды.
Проверяется умение находить объём пирамиды через площадь основания и высоту. Основание — равносторонний треугольник со стороной 2, его площадь равна a²√3/4 = √3. Тогда V = Sоснh/3 = √3 · 6√3/3 = 6. Ответ: 6.
| Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны |
|
Проверяются объём и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда.
Третье ребро равно 140 : (7 · 4) = 5. Площадь поверхности равна 2 · (7 · 4 + 7 · 5 + 4 · 5) = 166.
Ответ: 166.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
| Радиус основания цилиндра равен 17, а его образующая равна 10. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё |
|
Проверяется площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси. Ширина прямоугольного сечения — хорда основания на расстоянии 8 от центра: 2√(17² − 8²) = 30. Высота сечения равна образующей, то есть 10, поэтому площадь равна 30 · 10 = 300.
Ответ: 300.
| Даны два шара с радиусами 6 и 3. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего шара? |
|
Задание проверяет отношение объёмов шаров. Объём шара вычисляется по формуле V = 4πr³/3, поэтому отношение объёмов равно отношению кубов радиусов: 6³/3³ = 8.
Ответ: 8.
Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 9 и 3,
а второго 3 и 9. Во сколько раз объём первого цилиндра больше объёма второго?
Проверяется умение сравнивать объёмы цилиндров. По формуле V = πr²h объёмы равны 243π и 81π, поэтому отношение объёма первого цилиндра ко второму равно 243π/81π = 3. Ответ: 3.
| В прямоугольном параллелепипеде рёбра и диагональ боковой грани равны соответственно 3, 5 и Найдите объём параллелепипеда |
|
Проверяется объём прямоугольного параллелепипеда. Из прямоугольного треугольника на грани DAA1 получаем AA1 = √((√34)² − 3²) = 5.
Объём равен произведению трёх измерений: 3 · 5 · 5 = 75.
Ответ: 75.
Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 18, а боковые рёбра равны 15. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Задание проверяет площадь боковой поверхности правильной пирамиды.
Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами 15, 15 и основанием 18. Его высота к основанию равна √(15² − 9²) = 12, поэтому площадь одной грани равна 18 · 12 / 2 = 108.
У пирамиды три такие грани, значит площадь боковой поверхности равна 3 · 108 = 324.
Ответ: 324.
| Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 8 и 2, |
|
Задание проверяет объём и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда. Третье ребро равно 144/(8 · 2) = 9. Площадь поверхности равна 2 · (8 · 2 + 8 · 9 + 2 · 9) = 2 · 106 = 212.
Ответ: 212.
| Радиус основания цилиндра равен 25, а его образующая равна 12. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 15. Найдите площадь этого сечения. |
|
Задание проверяет площадь прямоугольного сечения цилиндра и связь образующей с его высотой. Ширина сечения — хорда основания на расстоянии 15 см от центра: 2√(25² − 15²) = 2√400 = 40 см. Площадь сечения равна 40 · 12 = 480.
Ответ: 480
| Объём конуса равен , а его высота равна 5. Найдите радиус основания конуса. |
|
Проверяется умение находить радиус основания конуса по объёму и высоте.
Объём конуса: V = πr²h / 3. Тогда 60π = πr² · 5 / 3, откуда r² = 36 и r = 6.
Ответ: 6.
| В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 4, а гипотенуза равна . Найдите объём призмы, если её высота равна 7. |
|
Задание проверяет вычисление объёма прямой призмы через площадь основания. По теореме Пифагора второй катет прямоугольного треугольника равен √(65 − 4²) = 7, поэтому площадь основания равна 4 · 7 / 2 = 14. Объём призмы: 14 · 7 = 98.
Ответ: 98
| Объём конуса равен а радиус его основания равен 3. Найдите высоту конуса. |
|
Задание проверяет объём конуса: V = (1/3) · πr²h.
Подставим V = 9π и r = 3: 9π = (1/3) · π · 3² · h = 3πh.
Тогда h = 3.
Ответ: 3.
Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 4 и 1,
а второго 6 и 4. Во сколько раз объём второго цилиндра больше объёма первого цилиндра?
Проверяется умение находить объём цилиндра и сравнивать объёмы.
Объём цилиндра: V = πr²h. Отношение объёмов равно (6² · 4) / (4² · 1) = 144 / 16 = 9.
Ответ: 9.
| В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 и 16. Найдите объём призмы, если её высота равна 3. |
|
Задание проверяет объём прямой призмы: площадь основания умножается на высоту. Основание — прямоугольный треугольник с площадью 3 · 16 / 2 = 24. Объём призмы равен 24 · 3 = 72.
Ответ: 72
Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в полтора раза ниже второй,
а вторая — вдвое шире первой. Во сколько раз объём первой кружки меньше объёма второй?
Проверяется, как объём цилиндра зависит от радиуса основания и высоты: V = πr²h. Первая кружка в 1,5 раза ниже, значит высота второй в 1,5 раза больше; диаметр второй вдвое больше, значит её радиус вдвое больше. Объём второй больше в 2² · 1,5 = 6 раз. Ответ: 6.
| Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 8, а боковое ребро равно |
|
Проверяется объём правильной четырёхугольной пирамиды. Расстояние от центра квадратного основания до его вершины равно половине диагонали квадрата: 8√2 : 2 = 4√2.
По теореме Пифагора высота пирамиды равна √((√41)² − (4√2)²) = √9 = 3. Площадь основания равна 8² = 64, поэтому объём равен ⅓ · 64 · 3 = 64.
Ответ: 64.
Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 3 и 4, а второго
2 и 9. Во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого?
Задание проверяет объём конуса: V = πr²h : 3.
Объём первого конуса равен π · 3² · 4 : 3 = 12π, второго — π · 2² · 9 : 3 = 12π. Они равны, поэтому объём второго больше объёма первого в 1 раз.
Ответ: 1.
| Радиус основания цилиндра равен 15, а его образующая |
|
Проверяется площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси. Сечение — прямоугольник: одна сторона равна образующей, то есть 14, а другая — хорде основания на расстоянии 12 от центра.
Половина хорды равна √(15² − 12²) = 9, значит, хорда равна 18. Площадь сечения: 14 · 18 = 252.
Ответ: 252.
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 2 и 3,
а второго 4 и 6. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого?
Проверяется умение находить площадь боковой поверхности конуса: S = πrl, где r — радиус основания, l — образующая.
Для первого конуса S₁ = π · 2 · 3 = 6π, для второго S₂ = π · 4 · 6 = 24π.
Отношение S₂ к S₁ равно 24π / 6π = 4.
Ответ: 4.
