Задание 13 ЕГЭ по базовой математике

Проверяется изменение объёма конуса при сечении, параллельном основанию. От вершины до плоскости проходит 1/5 высоты, поэтому отсечённый конус подобен исходному с коэффициентом 1/5. Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента: 375 · (1/5)³ = 3.

Ответ: 3.

Объём конуса вычисляют по формуле V = πr²h/3. Для первого конуса V₁ = π · 9² · 4/3 = 108π, для второго V₂ = π · 6² · 6/3 = 72π. Отношение V₁/V₂ = 108/72 = 1,5. Ответ: 1,5.

Задание проверяет объёмы конуса и подобие его частей. Точка делит высоту в отношении 1:4 от вершины, значит высота малого конуса составляет 1/5 высоты исходного. У подобных конусов объёмы относятся как кубы соответствующих линейных размеров: 1125 · (1/5)³ = 9.

Ответ: 9.

Задание проверяет объём конуса и подобие его частей. Высота отсечённого конуса составляет 1/4 высоты исходного, поэтому его объём равен 64 · (1/4)³ = 1. Объёмы подобных конусов относятся как кубы их линейных размеров.

Ответ: 1.

Проверяется тема «Стереометрия: объёмы и площади». Объём конуса вычисляется по формуле V = πr²h/3. Высоты конусов одинаковы, поэтому отношение объёмов первого и второго равно отношению квадратов радиусов: 8²/4² = 4.

Ответ: 4.

Задание проверяет объём прямой призмы: V = Sосн · h. Второй катет прямоугольного треугольника по теореме Пифагора равен √((√74)² − 5²) = √49 = 7. Площадь основания равна 5 · 7 / 2 = 17,5, поэтому объём призмы равен 17,5 · 2 = 35.

Ответ: 35.

Задание проверяет, как площадь поверхности шара зависит от его радиуса. Площадь шара S = 4πR², поэтому отношение площадей равно квадрату отношения радиусов: 4²/1² = 16.

Ответ: 16

Задание проверяет объём правильной четырёхугольной пирамиды. Расстояние от центра квадратного основания до его вершины равно половине диагонали квадрата: 6√2/2 = 3√2. По теореме Пифагора высота пирамиды равна √((√34)² − (3√2)²) = √16 = 4. Тогда V = (1/3) · 6² · 4 = 48.

Ответ: 48

Задание на объём призмы: V = Sосн · h. Основание — равносторонний треугольник со стороной 2, его площадь равна a²√3 / 4 = √3.

Умножаем площадь основания на высоту призмы: √3 · 4√3 = 12.

Ответ: 12.

В правильной четырёхугольной пирамиде высота опускается в центр квадратного основания. Расстояние от центра квадрата до вершины основания равно половине диагонали: 6√2 / 2 = 3√2.

По теореме Пифагора высота пирамиды h = √( (√67)² − (3√2)² ) = √(67 − 18) = 7.

Площадь основания равна 6² = 36, поэтому V = 1/3 · 36 · 7 = 84.

Ответ: 84.

Задание проверяет нахождение площади боковой поверхности конуса и сравнение площадей. Используем формулу S = πrl, где r — радиус основания, l — образующая.

Для первого конуса S₁ = π · 6 · 8 = 48π, для второго S₂ = π · 4 · 8 = 32π. Отношение S₁/S₂ = 48π/32π = 1,5.

Ответ: 1,5.

Проверяется, как размеры правильной четырёхугольной призмы влияют на её объём. Объём равен площади основания, умноженной на высоту: V = a²h. Пусть ширина первой коробки равна a, а высота второй — h; тогда объёмы относятся как (4a)² · h к a² · 4h, то есть 16 / 4 = 4.

Ответ: 4.

Объём призмы равен площади основания, умноженной на высоту: V = S_осн · h. Основание — равносторонний треугольник со стороной 5, его площадь S_осн = 5²√3 / 4.

При высоте призмы √3 получаем V = (25√3 / 4) · √3 = 75 / 4 = 18,75.

Ответ: 18,75.

Задание проверяет подобие конусов и изменение объёма при уменьшении размеров.

Плоскость проходит через середину высоты и параллельна основанию, поэтому высота отсечённого конуса вдвое меньше исходной. Все линейные размеры уменьшились в 2 раза, значит объём уменьшился в 2³ = 8 раз: 24 / 8 = 3.

Ответ: 3.

Задание проверяет формулу объёма шара: V = 4πr³ / 3. При сравнении объёмов одинаковые множители сокращаются, поэтому отношение объёмов равно отношению кубов радиусов: 8³ / 2³ = 512 / 8 = 64.

Ответ: 64.

Задание проверяет формулу объёма конуса: V = 1/3 · πr²h. Подставим объём 50π и высоту 6: 50π = 1/3 · πr² · 6 = 2πr². Значит, r² = 25, а радиус основания равен 5.

Ответ: 5

Проверяется объём прямоугольного параллелепипеда и площадь его поверхности. Третье ребро равно 640 / (10 · 8) = 8.

Площадь поверхности равна 2(ab + ac + bc), значит S = 2(10 · 8 + 10 · 8 + 8 · 8) = 448.

Ответ: 448.

Объём пирамиды равен одной трети площади основания, умноженной на высоту. Площадь прямоугольного основания: 9 · 4 = 36.

48 = (1/3) · 36 · h, поэтому h = 48 · 3 / 36 = 4.

Ответ: 4.

Задание проверяет объём и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда. Третье ребро равно 30 / (1 · 5) = 6.

Площадь поверхности равна S = 2(ab + ac + bc). Подставляем длины рёбер: S = 2(1 · 5 + 1 · 6 + 5 · 6) = 2 · 41 = 82.

Ответ: 82.

Задание проверяет вычисление объёма призмы: площадь основания умножается на высоту.

Основание — равносторонний треугольник со стороной 3, его площадь равна 3²√3/4 = 9√3/4. Тогда объём равен (9√3/4)·√3 = 27/4 = 6,75.

Ответ: 6,75.