| Объём конуса равен а радиус его основания равен 1. Найдите высоту конуса. |
|
Ответ: 18
Разбор
Задание проверяет объём конуса. Используем формулу V = ⅓πr²h: при V = 6π и r = 1 получаем 6π = ⅓πh, поэтому h = 18.
Ответ: 18.
Задание 13 ЕГЭ по базовой математике
Стереометрия · 369 заданий ФИПИ с ответами
0 из 7 400 решеноБазовая математикаБаза →
| Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2, а высота этой призмы равна . Найдите объём призмы . |
|
Ответ: 15
Разбор
Проверяется нахождение объёма призмы: V равен площади основания, умноженной на высоту. Основание — равносторонний треугольник со стороной 2, его площадь равна (√3/4) · 2² = √3. Тогда V = √3 · 5√3 = 15.
Ответ: 15.
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 4 и 7,
а второго 6 и 7. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого конуса?
Ответ: 1,5
Разбор
Проверяется площадь боковой поверхности конуса. По формуле S = πrl отношение площадей равно отношению произведений радиуса на образующую: (6 · 7)/(4 · 7) = 1,5.
Ответ: 1,5.
Войдите, чтобы прогресс не потерялся
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
| Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно . |
|
Ответ: 36
Разбор
Проверяется умение находить объём пирамиды. Диагональ квадратного основания равна 6√2, поэтому расстояние от центра основания до его вершины равно 3√2.
Высота пирамиды: √((3√3)² − (3√2)²) = 3. Площадь основания равна 6² = 36, значит объём равен ⅓ · 36 · 3 = 36.
Ответ: 36.
Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 9 и 6, а второго 6 и 3. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?
Ответ: 4,5
Разбор
Проверяется формула объёма конуса: V = πr²h / 3. В отношении объёмов множитель π / 3 сокращается, поэтому V₁ / V₂ = 9² · 6 / (6² · 3) = 486 / 108 = 4,5.
Ответ: 4,5
| Объём конуса равен 625. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:4, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью. |
|
Ответ: 5
Разбор
Задание проверяет объёмы подобных тел. Высота малого конуса составляет 1/5 высоты исходного, поэтому его объём составляет (1/5)³ = 1/125 объёма исходного конуса. Вычисляем: 625/125 = 5.
Ответ: 5.
| Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1 : 2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен 30. |
|
Ответ: 810
Разбор
Задание проверяет изменение объёма конуса при сечении, параллельном основанию. От вершины до плоскости проходит треть высоты, поэтому линейный масштаб отсечённого конуса равен 1/3, а его объём составляет (1/3)³ = 1/27 объёма исходного. Тогда объём исходного конуса равен 30 · 27 = 810. Ответ: 810.
| Радиус основания цилиндра равен 10, а его образующая |
|
Ответ: 216
Разбор
Проверяется площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси. Сечение — прямоугольник высотой 18; его ширина равна хорде основания на расстоянии 8 от центра: 2√(10² − 8²) = 12. Площадь равна 12 · 18 = 216.
Ответ: 216.
Даны два шара с радиусами 9 и 1. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?
Ответ: 81
Разбор
Задание проверяет площадь поверхности шара: S = 4πr². Отношение площадей шаров с радиусами 9 и 1 равно 9²/1² = 81.
Ответ: 81.
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 5 и 9,
а второго 3 и 5. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой поверхности второго конуса?
Ответ: 3
Разбор
Проверяется формула площади боковой поверхности конуса: S = πrl, где r — радиус основания, l — образующая. Для первого конуса S₁ = π · 5 · 9, для второго S₂ = π · 3 · 5. Отношение площадей равно 45π / 15π = 3.
Ответ: 3
Пирамида Снофру имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 220 м, а высота пирамиды равна 104 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 110 см. Найдите высоту музейной копии. Ответ дайте
в сантиметрах.
Ответ: 52
Разбор
Задание проверяет подобие правильных пирамид: все линейные размеры меняются в одном отношении. Сторона музейной копии в 200 раз меньше: 220 м = 22 000 см, а 22 000 : 110 = 200. Поэтому высота копии равна 104 : 200 = 0,52 м, то есть 52 см.
Ответ: 52
| Объём конуса равен 16. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью. |
|
Ответ: 2
Разбор
Проверяется, как меняется объём конуса при уменьшении его размеров. Отсечённый конус подобен исходному с коэффициентом подобия 1/2, поэтому его объём составляет (1/2)³ от исходного. Получаем 16 · 1/8 = 2.
Ответ: 2.
Сторона основания правильной треугольной призмы равна 4, а высота
этой призмы равна Найдите объём
призмы
Ответ: 12
Разбор
Проверяется нахождение объёма призмы через площадь основания и высоту. Площадь равностороннего треугольника со стороной 4 равна 4²√3/4 = 4√3. Объём призмы равен 4√3 · √3 = 12.
Ответ: 12.
В треугольной пирамиде рёбра , и взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если , и .
Ответ: 160
Разбор
Задание проверяет объём пирамиды с взаимно перпендикулярными рёбрами, выходящими из одной вершины. Рёбра 8, 12 и 10 можно взять за три перпендикулярных измерения, поэтому объём равен 1/6 произведения их длин.
V = 8 · 12 · 10 / 6 = 160.
Ответ: 160.
| Сторона основания правильной треугольной призмы равна 1, а высота этой призмы равна Найдите объём призмы |
|
Ответ: 3
Разбор
Проверяется нахождение объёма призмы через площадь основания и высоту. Основание — равносторонний треугольник со стороной 1, его площадь равна √3/4. Тогда объём равен (√3/4) · 4√3 = 3.
Ответ: 3.
Однородный шар диаметром 5 см весит 500 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 3 см, изготовленный из того же материала?
Ответ: 108
Разбор
Проверяется изменение объёма шара при изменении диаметра. Для шаров из одного материала масса пропорциональна объёму, а объёмы подобных шаров относятся как кубы диаметров.
Масса меньшего шара равна 500 · (3/5)³ = 108 г.
Ответ: 108.
Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 2 и 6, а второго
8 и 9. Во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого?
Ответ: 24
Разбор
Проверяется, как меняется объём конуса при изменении радиуса основания и высоты. Формула объёма: V = ⅓πr²h. Отношение объёмов равно (8² · 9) / (2² · 6) = 576 / 24 = 24.
Ответ: 24.
| Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1 : 2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен 10. |
|
Ответ: 270
Разбор
Задание проверяет отношение объёмов подобных конусов. От вершины до сечения проходит 1/3 высоты исходного конуса, поэтому объём отсечённого конуса составляет (1/3)³ = 1/27 объёма всего конуса. Тогда объём исходного конуса равен 10 · 27 = 270.
Ответ: 270
| Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 4 и 3, |
|
Ответ: 234
Разбор
Задание проверяет объём и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда. Третье ребро равно 180 / (4 · 3) = 15.
Площадь поверхности вычисляется по формуле S = 2(ab + ac + bc). Получаем S = 2(4 · 3 + 4 · 15 + 3 · 15) = 2 · 117 = 234.
Ответ: 234.
| В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3, |
|
Ответ: 45
Разбор
Площадь основания призмы равна половине произведения катетов. Второй катет прямоугольного треугольника по теореме Пифагора равен √((√34)² − 3²) = √25 = 5. Тогда объём призмы равен (3 · 5 / 2) · 6 = 45.
Ответ: 45.