Задание 4 ЕГЭ по базовой математике

Длина медианы ${\displaystyle m_c}$, проведённой к стороне ${\displaystyle c}$ треугольника со сторонами ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$, вычисляется по формуле ${\displaystyle m_c=\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{2}}$. Найдите медиану ${\displaystyle m_c}$, если ${\displaystyle a=\mathrm{4,}b=2\sqrt{6}\text{и}c=8}$.

Чтобы перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой ${\displaystyle t_{\text{F}}=\mathrm{1,8}{t}_{\text{C}}+32}$, где ${\displaystyle t_{\text{C}}}$ ${\displaystyle —}$ температура в градусах
по шкале Цельсия, ${\displaystyle t_{\text{F}}}$ ${\displaystyle —}$ температура в градусах по шкале Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует ${\displaystyle -20}$ градусов
по шкале Цельсия?

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется
по формуле ${\displaystyle r=\frac{a+b-c}{2}}$, где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle —}$ катеты, а ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle —}$ гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите ${\displaystyle r}$, если ${\displaystyle a=88}$, ${\displaystyle b=105}$ и ${\displaystyle c=137}$.

Потенциальная энергия тела (в джоулях) в поле тяготения Земли вблизи
её поверхности вычисляется по формуле ${\displaystyle E=mgh}$, где ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle —}$ масса тела
(в килограммах), ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle —}$ ускорение свободного падения (в м/с ${\displaystyle {}^2}$ ), а ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle —}$ высота
(в метрах), на которой находится это тело, относительно поверхности. Пользуясь этой формулой, найдите ${\displaystyle m}$ (в килограммах), если ${\displaystyle g=\mathrm{9,8}}$ м/с ${\displaystyle {}^2}$, ${\displaystyle h=5}$ м, а ${\displaystyle E=490}$ Дж.

Если ${\displaystyle p_1}$, ${\displaystyle p_2}$ и ${\displaystyle p_3}$ ${\displaystyle —}$ различные простые числа, то сумма всех делителей числа ${\displaystyle p_1\cdot p_2\cdot p_3}$ равна ${\displaystyle \left(p_1+1\right)\left(p_2+1\right)\left(p_3+1\right)}$. Найдите сумму всех делителей числа ${\displaystyle 186=2\cdot 3\cdot 31}$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле ${\displaystyle S=\frac{1}{2}bc\sin \text{α}}$, где ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle —}$ две стороны треугольника, а ${\displaystyle \text{α}}$ ${\displaystyle —}$ угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите величину ${\displaystyle \sin \text{α}}$, если ${\displaystyle b=5}$, ${\displaystyle c=14}$ и ${\displaystyle S=21}$.

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2\sin \text{α}\text{,}$
где $d_1$ и $d_2$ $—$ длины диагоналей четырёхугольника, $\text{α}$ $—$ угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $S,$ если $d_1=\mathrm{6,}$ $d_2=12$ и $\sin \text{α}=\frac{5}{9}.$

Длина биссектрисы ${\displaystyle l_c}$, проведённой к стороне ${\displaystyle c}$ треугольника со сторонами ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$, вычисляется по формуле ${\displaystyle l_c=\frac{1}{a+b}\sqrt{ab\left({\left(a+b\right)}^2-c^2\right)}}$. Найдите биссектрису ${\displaystyle l_c}$, если ${\displaystyle a=\mathrm{4,}b=16\text{и}c=10\sqrt{3}}$.

Чтобы перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой ${\displaystyle t_{\text{F}}=\mathrm{1,8}{t}_{\text{C}}+32}$, где ${\displaystyle t_{\text{C}}}$ ${\displaystyle —}$ температура в градусах
по шкале Цельсия, ${\displaystyle t_{\text{F}}}$ ${\displaystyle —}$ температура в градусах по шкале Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует 101 градус по шкале Цельсия?

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется
по формуле ${\displaystyle r=\frac{a+b-c}{2}}$, где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle —}$ катеты, а ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle —}$ гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите ${\displaystyle r}$, если ${\displaystyle a=28}$, ${\displaystyle b=195}$ и ${\displaystyle c=197}$.

Среднее геометрическое чисел $a,$ $b$ и $c$ вычисляется по формуле $g=\sqrt[3]{abc}.$ Вычислите среднее геометрическое чисел 4, 8, 16.

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле ${\displaystyle S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2\sin \text{α}}$, где ${\displaystyle d_1}$ и ${\displaystyle d_2}$ ${\displaystyle —}$ длины диагоналей четырёхугольника, ${\displaystyle \text{α}}$ ${\displaystyle —}$ угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали ${\displaystyle d_2}$, если ${\displaystyle d_1=14}$, ${\displaystyle \sin \text{α}=\frac{1}{12}}$, a ${\displaystyle S=\mathrm{8,75}}$.

Площадь треугольника со сторонами ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ можно найти по формуле Герона ${\displaystyle S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}$, где ${\displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 4, 13, 15.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле ${\displaystyle S=\frac{abc}{4R},}$ где ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ — стороны треугольника, ${\displaystyle R}$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите площадь ${\displaystyle S,}$ если ${\displaystyle a=\mathrm{7,}}$ ${\displaystyle b=\mathrm{15,}}$ ${\displaystyle c=20}$ и ${\displaystyle R=\frac{25}{2}.}$

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле ${\displaystyle S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2\sin \text{α}}$, где ${\displaystyle d_1}$ и ${\displaystyle d_2}$ ${\displaystyle —}$ длины диагоналей четырёхугольника, ${\displaystyle \text{α}}$ ${\displaystyle —}$ угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали ${\displaystyle d_2}$, если ${\displaystyle d_1=11}$, ${\displaystyle \sin \text{α}=\frac{1}{8}}$, a ${\displaystyle S=\mathrm{8,25}}$.

Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им расстояние ${\displaystyle s}$ по формуле ${\displaystyle s=nl}$, где ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle —}$ число шагов, ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle —}$ длина шага. Какое расстояние прошёл человек, если ${\displaystyle l=80}$ см, ${\displaystyle n=1700}$? Ответ дайте в метрах.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле ${\displaystyle S=\frac{abc}{4R}}$, где ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$
и ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle —}$ стороны треугольника, а ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle —}$ радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите площадь ${\displaystyle S}$, если ${\displaystyle a=16}$, ${\displaystyle b=25}$, ${\displaystyle c=39}$ и ${\displaystyle R=\frac{65}{2}}$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле ${\displaystyle S=\frac{1}{2}bc\sin \text{α}}$, где ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle —}$ две стороны треугольника, а ${\displaystyle \text{α}}$ ${\displaystyle —}$ угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите величину ${\displaystyle \sin \text{α}}$, если ${\displaystyle b=10}$, ${\displaystyle c=5}$ и ${\displaystyle S=20}$.

Рейтинговое агентство определяет рейтинг электрических фенов для волос
на основе средней цены $P$ (в рублях за штуку), а также показателей функциональности $F\text{,}$ качества $Q$ и дизайна $D.$ Рейтинг $R$ вычисляется
по формуле

$R=3\left(F+Q\right)+D-\mathrm{0,01}P.$

В таблице даны цены и показатели четырёх моделей фенов.

Найдите наименьший рейтинг фена из представленных в таблице моделей.

Закон Гука можно записать в виде ${\displaystyle F=kx,}$ где ${\displaystyle F}$ — сила (в ньютонах),
с которой растягивают пружину, ${\displaystyle x}$ — абсолютное удлинение пружины
(в метрах), ${\displaystyle k}$ — коэффициент упругости (в Н/м). Пользуясь этой формулой, найдите ${\displaystyle x}$ (в метрах), если ${\displaystyle F=38}$ Н и ${\displaystyle k=2}$ Н/м.