Задание 4 ЕГЭ по базовой математике

Площадь треугольника со сторонами ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ можно найти по формуле Герона ${\displaystyle S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}$, где ${\displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 13, 14, 15.

Теорему синусов можно записать в виде ${\displaystyle \frac{a}{\sin \text{α}}=\frac{b}{\sin \text{β}}}$, где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle —}$ две стороны треугольника, а ${\displaystyle \text{α}}$ и ${\displaystyle \text{β}}$ ${\displaystyle —}$ углы треугольника, лежащие против них соответственно. Пользуясь этой формулой, найдите величину ${\displaystyle \sin \text{α}}$, если ${\displaystyle a=4}$, ${\displaystyle b=2}$, ${\displaystyle \sin \text{β}=\frac{2}{5}}$.

Ускорение тела (в м/с²) при равномерном движении по окружности можно вычислить по формуле $a={\omega }^{2}R,$ где $\omega$ $—$ угловая скорость вращения (в c^$–$1), а $R$ $—$ радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите ускорение $a$ (в м/с²), если $R=\mathrm{2,5}$ м и $\text{ω}=8$ с^$–$1.

Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле $A=I^{2}Rt,$
где $I$ $—$ сила тока (в амперах), $R$ $—$ сопротивление (в омах), $t$ $—$ время
(в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите $A$ (в джоулях), если $t=5$ c, $I=2$ А и $R=13$ Ом.

Количество теплоты (в джоулях), полученное однородным телом
при нагревании, вычисляется по формуле $Q=cm\left(t_2-t_1\right)$, где $c$ $—$ удельная теплоёмкость тела $\left(\text{в}\frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot \text{К}}\right)$, $m$ $—$ масса тела (в килограммах), $t_1$ $—$ начальная температура тела (в кельвинах), а $t_2$ $—$ конечная температура тела (в кельвинах). Пользуясь этой формулой, найдите $Q$ (в джоулях), если $t_2=412$ К, $c=300$ $\frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot \text{К}}$, $m=3$ кг и $t_1=407$ К.

Если ${\displaystyle p_1}$, ${\displaystyle p_2}$ и ${\displaystyle p_3}$ ${\displaystyle —}$ различные простые числа, то сумма всех делителей числа ${\displaystyle p_1\cdot p_2\cdot p_3}$ равна ${\displaystyle \left(p_1+1\right)\left(p_2+1\right)\left(p_3+1\right)}$. Найдите сумму всех делителей числа ${\displaystyle 222=2\cdot 3\cdot 37}$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле ${\displaystyle S=\frac{abc}{4R}}$, где ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$
и ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle —}$ стороны треугольника, а ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle —}$ радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите площадь ${\displaystyle S}$, если ${\displaystyle a=6}$, ${\displaystyle b=25}$, ${\displaystyle c=29}$ и ${\displaystyle R=\frac{145}{8}}$.

Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле $A=I^{2}Rt,$
где $I$ $—$ сила тока (в амперах), $R$ $—$ сопротивление (в омах), $t$ $—$ время
(в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите $A$ (в джоулях), если $t=2$ c, $I=6$ А и $R=5$ Ом.

Среднее гармоническое трёх чисел ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ вычисляется по формуле ${\displaystyle h={\left(\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{3}\right)}^{-1}}$. Найдите среднее гармоническое чисел ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, ${\displaystyle \frac{1}{9}}$ и 1.

Длина биссектрисы ${\displaystyle l_c}$, проведённой к стороне ${\displaystyle c}$ треугольника со сторонами ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$, вычисляется по формуле ${\displaystyle l_c=\frac{1}{a+b}\sqrt{ab\left({\left(a+b\right)}^2-c^2\right)}}$. Найдите биссектрису ${\displaystyle l_c}$, если ${\displaystyle a=\mathrm{2,}b=8\text{и}c=5\sqrt{3}}$.

Потенциальная энергия тела (в джоулях) в поле тяготения Земли вблизи
её поверхности вычисляется по формуле $E=mgh$, где $m$ $—$ масса тела
(в килограммах), $g$ $—$ ускорение свободного падения (в м/с ${}^2$ ), а $h$ $—$ высота
(в метрах), на которой находится это тело, относительно поверхности. Пользуясь этой формулой, найдите $m$ (в килограммах), если $g=\mathrm{9,8}$ м/с ${}^2$, $h=5$ м, а $E=490$ Дж.

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле ${\displaystyle P=I^{2}R}$,
где ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle —}$ сила тока (в амперах), ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle —}$ сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите ${\displaystyle P}$ (в ваттах), если ${\displaystyle R=12}$ Ом и ${\displaystyle I=7}$ А.

Если ${\displaystyle p_1}$, ${\displaystyle p_2}$ и ${\displaystyle p_3}$ ${\displaystyle —}$ различные простые числа, то сумма всех делителей числа ${\displaystyle p_1\cdot p_2\cdot p_3}$ равна ${\displaystyle \left(p_1+1\right)\left(p_2+1\right)\left(p_3+1\right)}$. Найдите сумму всех делителей числа ${\displaystyle 66=2\cdot 3\cdot 11}$.

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле ${\displaystyle S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2\sin \text{α}}$, где ${\displaystyle d_1}$ и ${\displaystyle d_2}$ ${\displaystyle —}$ длины диагоналей четырёхугольника, ${\displaystyle \text{α}}$ ${\displaystyle —}$ угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали ${\displaystyle d_2}$, если ${\displaystyle d_1=6}$, ${\displaystyle \sin \text{α}=\frac{1}{3}}$, a ${\displaystyle S=19}$.

В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси длительностью меньше 5 минут составляет 150 рублей. Если поездка длится 5 минут или более, то её стоимость (в рублях) рассчитывается по формуле ${\displaystyle C=150+11\left(t-5\right)}$, где t ${\displaystyle —}$ длительность поездки, выраженная в минутах ${\displaystyle \left(t\ge 5\right)}$. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 12-минутной поездки. Ответ укажите
в рублях.

Чтобы перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой ${\displaystyle t_{\text{F}}=\mathrm{1,8}{t}_{\text{C}}+32}$, где ${\displaystyle t_{\text{C}}}$ — температура в градусах по шкале Цельсия, ${\displaystyle t_{\text{F}}}$ — температура в градусах по шкале Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует 139 градусов по шкале Цельсия?

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле ${\displaystyle S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2\sin \text{α}}$, где ${\displaystyle d_1}$ и ${\displaystyle d_2}$ ${\displaystyle —}$ длины диагоналей четырёхугольника, ${\displaystyle \text{α}}$ ${\displaystyle —}$ угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали ${\displaystyle d_1}$, если ${\displaystyle d_2=15}$, ${\displaystyle \sin \text{α}=\frac{2}{5}}$, a ${\displaystyle S=36}$.

Площадь трапеции можно вычислить по формуле ${\displaystyle S=\frac{a+b}{2}\cdot h,}$ где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — основания трапеции, ${\displaystyle h}$ — её высота. Пользуясь этой формулой, найдите площадь трапеции ${\displaystyle S,}$ если ${\displaystyle a=\mathrm{8,}}$ ${\displaystyle b=14}$ и ${\displaystyle h=10.}$

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P=I^{2}R,$
где $I$ $—$ сила тока (в амперах), $R$ $—$ сопротивление (в омах). Пользуясь
этой формулой, найдите $R$ (в омах), если $P=\mathrm{541,5}$ Вт и $I=\mathrm{9,5}$ А.

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2\sin \text{α}\text{,}$
где $d_1$ и $d_2$ $—$ длины диагоналей четырёхугольника, $\text{α}$ $—$ угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $S,$ если $d_1=\mathrm{4,}$ $d_2=7$ и $\sin \text{α}=\frac{2}{7}.$