Задание 4 ЕГЭ по базовой математике

Теорему косинусов можно записать в виде ${\displaystyle \cos \gamma =\frac{a^2\text{}+b^2\text{}-c^2}{2ab}}$, где ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$
и ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle —}$ стороны треугольника, а ${\displaystyle \text{γ}}$ ${\displaystyle —}$ угол между сторонами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$. Пользуясь этой формулой, найдите величину ${\displaystyle \cos \text{γ}}$, если ${\displaystyle a=5}$, ${\displaystyle b=6}$ и ${\displaystyle c=7}$.

Ускорение тела (в ${\displaystyle \text{м}/{\text{с}}^2}$ ) при равномерном движении по окружности можно вычислить по формуле ${\displaystyle a={\omega }^{2}R}$, где ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle —}$ угловая скорость вращения (в ${\displaystyle {\text{с}}^{-1}}$ ), а ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle —}$ радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой,
найдите ${\displaystyle a}$ (в ${\displaystyle \text{м}/{\text{с}}^2}$ ), если ${\displaystyle R=\mathrm{3,5}}$ м и ${\displaystyle \omega =10{\text{с}}^{-1}}$.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется
по формуле $r=\frac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ $—$ катеты, $c$ $—$ гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если $a=51$, $b=140$ и $c=149$.

Площадь прямоугольника можно вычислить по формуле ${\displaystyle S=\frac{d^2\text{}\sin \text{α}}{2}}$,
где ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle —}$ длина диагонали, ${\displaystyle \text{α}}$ ${\displaystyle —}$ угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите площадь ${\displaystyle S,}$ если ${\displaystyle d=4}$ и ${\displaystyle \sin \text{α}=\frac{1}{2}}$.

Эхолокация — это способ определения расстояния до объекта при помощи звуковой волны. В морской практике для определения расстояния до объекта в толще воды используют формулу ${\displaystyle h=\frac{vt}{2}}$, где ${\displaystyle h}$ — расстояние до объекта (в метрах), ${\displaystyle v}$ — скорость звука в воде (в м/с), ${\displaystyle t}$ — время между моментом отправления и приёмом отправленного звукового сигнала (в секундах). Найдите расстояние до объекта на дне моря, если после отправления звукового сигнала он был принят через 3 с, скорость звука в морской воде 1500 м/с. Ответ выразите в метрах.

Скорость камня (в м/с), падающего с высоты $h$ (в м), в момент удара о землю можно найти по формуле $v=\sqrt{2gh}.$ Найдите скорость (в м/с), с которой ударится о землю камень, падающий с высоты 10 м. Считайте, что ускорение свободного падения $g$ равно $\mathrm{9,8}{\text{м/с}}^2.$

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле ${\displaystyle P=I^{2}R}$, где ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle —}$ сила тока (в амперах), ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle —}$ сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите ${\displaystyle P}$ (в ваттах), если ${\displaystyle R=9}$ Ом и ${\displaystyle I=\mathrm{8,5}}$ А.

Теорему синусов можно записать в виде ${\displaystyle \frac{a}{\sin \text{α}}=\frac{b}{\sin \text{β}}}$, где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle —}$ две стороны треугольника, а ${\displaystyle \text{α}}$ и ${\displaystyle \text{β}}$ ${\displaystyle —}$ углы треугольника, лежащие против них соответственно. Пользуясь этой формулой, найдите величину ${\displaystyle \sin \text{α}}$, если ${\displaystyle a=4}$, ${\displaystyle b=5}$, ${\displaystyle \sin \text{β}=\frac{3}{8}}$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S=\frac{\left(a+b+c\right)r}{2}$, где $a,$ $b$ и $c$ $—$ стороны треугольника, а $r$ $—$ радиус окружности, вписанной в этот треугольник. Пользуясь этой формулой, найдите $b,$ если $a=\mathrm{11,}$ $c=\mathrm{14,}$ $S=44\sqrt{3}$ и $r=2\sqrt{3}.$

Длина биссектрисы ${\displaystyle l_c}$, проведённой к стороне ${\displaystyle c}$ треугольника со сторонами ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$, вычисляется по формуле ${\displaystyle l_c=\frac{1}{a+b}\sqrt{ab\left({\left(a+b\right)}^2-c^2\right)}}$. Найдите биссектрису ${\displaystyle l_c}$, если ${\displaystyle a=\mathrm{5,}b=20\text{и}c=10\sqrt{6}}$.

Спидометр автомобиля показывает скорость в милях в час. Какую скорость (в милях в час) показывает спидометр, если автомобиль движется со скоростью 96 км в час? (Считайте, что 1 миля равна 1,6 км.)

Чтобы перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой ${\displaystyle t_{\text{F}}=\mathrm{1,8}{t}_{\text{C}}+32}$, где ${\displaystyle t_{\text{C}}}$ — температура в градусах по шкале Цельсия, ${\displaystyle t_{\text{F}}}$ — температура в градусах по шкале Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует ${\displaystyle -16}$ градусов по шкале Цельсия?

Длина медианы ${\displaystyle m_c}$, проведённой к стороне ${\displaystyle c}$ треугольника со сторонами ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$, вычисляется по формуле ${\displaystyle m_c=\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{2}}$. Найдите медиану ${\displaystyle m_c}$, если ${\displaystyle a=\mathrm{4,}b=\sqrt{10}\text{и}c=6}$.

Энергия заряженного конденсатора ${\displaystyle W}$ (в Дж) вычисляется по формуле ${\displaystyle W=\frac{q^2}{2C},}$ где ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle —}$ ёмкость конденсатора (в Ф), а ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle —}$ заряд на одной обкладке конденсатора (в Кл). Найдите ${\displaystyle W}$ (в Дж), если ${\displaystyle C={10}^{-4}\text{Ф}}$
и ${\displaystyle q=\mathrm{0,00}\text{12}}$ Кл.

Автомобильный журнал определяет рейтинг автомобилей на основе показателей безопасности $S,$ комфорта $С,$ функциональности $F,$ качества $Q$ и дизайна $D.$ Рейтинг $R$ вычисляется по формуле

$R=\frac{3S+2C+2F+2Q+D}{50}.$

В таблице даны показатели трёх моделей автомобилей.

Найдите наибольший рейтинг автомобиля из представленных в таблице моделей.

Теорему синусов можно записать в виде ${\displaystyle \frac{a}{\sin \text{α}}=\frac{b}{\sin \text{β}}}$, где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle —}$ две стороны треугольника, а ${\displaystyle \text{α}}$ и ${\displaystyle \text{β}}$ ${\displaystyle —}$ углы треугольника, лежащие против них соответственно. Пользуясь этой формулой, найдите величину ${\displaystyle \sin \text{α}}$, если ${\displaystyle a=9}$, ${\displaystyle b=2}$, ${\displaystyle \sin \text{β}=\frac{1}{9}}$.

Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им расстояние ${\displaystyle s}$ по формуле ${\displaystyle s=nl}$, где ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle —}$ число шагов, ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle —}$ длина шага. Какое расстояние прошёл человек, если ${\displaystyle l=70}$ см, ${\displaystyle n=1900}$? Ответ дайте в метрах.

Среднее геометрическое чисел $a,$ $b$ и $c$ вычисляется по формуле $g=\sqrt[3]{abc}.$ Вычислите среднее геометрическое чисел 7, 14 и 28.

Площадь треугольника со сторонами ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ можно найти по формуле Герона ${\displaystyle S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}$, где ${\displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 16, 25, 39.

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле ${\displaystyle P=I^{2}R}$, где ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle —}$ сила тока (в амперах), ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle —}$ сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите ${\displaystyle R}$ (в омах), если ${\displaystyle P=\mathrm{283,5}}$ Вт и ${\displaystyle I=\mathrm{4,5}}$ А.