Задание 17 ЕГЭ по базовой математике

Задание проверяет свойства логарифмов и решение уравнений.

Так как log₉7 = log₉7, складываем логарифмы: log₉(2x − 13) + log₉7 = log₉(14x − 91). Тогда 14x − 91 = 14, откуда x = 7,5. Проверка области определения: 2x − 13 > 0, и найденное значение подходит.

Ответ: 7,5.

Тема задания — показательные уравнения: при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются.

Получаем (1/3)^{7x+4−(−5x+3)} = 1/81, то есть (1/3)^12x+1 = (1/3)⁴.

Приравниваем показатели: 12x + 1 = 4, откуда x = 1/4 = 0,25.

Ответ: 0,25.

Тема задания — показательные уравнения: представим правую часть как степень с тем же основанием.

1/64 = (1/2)⁶, поэтому 5x − 9 = 6.

Решаем: 5x = 15, значит x = 3.

Ответ: 3.

Задание проверяет решение линейных уравнений.

Переносим слагаемые: 9x − 4x = 3 − 2, значит 5x = 1. Делим обе части на 5: x = 0,2.

Ответ: 0,2.

Задание проверяет решение показательного уравнения. Представим обе части как степени числа 2: (1/8)^{4 − x} = (2⁻³)^{4 − x} = 2^{3x − 12}, а 64 = 2⁶. Приравниваем показатели: 3x − 12 = 6, откуда x = 6. Ответ: 6.

Проверяется решение линейного уравнения: раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

−8(3 + x) + x = 4 даёт −24 − 8x + x = 4, то есть −7x = 28.

Следовательно, x = −4.

Ответ: −4.

Задание проверяет решение иррационального уравнения. Возводим обе части в квадрат: 19 + 5x = 4, поэтому 5x = −15 и x = −3.

Проверка: √(19 − 15) = √4 = 2. Ответ: −3.

Задание проверяет решение квадратного уравнения и выбор большего корня. Переносим всё в левую часть: x² + 5x + 6 = 0. Разложение на множители: (x + 2)(x + 3) = 0, значит, корни −2 и −3. Больший корень — −2. Ответ: −2.

Задание проверяет свойства степеней и решение показательного уравнения. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: 2^{6x + 3} · 2^{5 − 4x} = 2^{2x + 8}. Так как 32 = 2⁵, получаем 2x + 8 = 5, откуда x = −1,5.

Ответ: −1,5.

Проверяется решение показательного уравнения.

Представим 1/36 как (1/6)². Тогда 4x − 6 = 2, поэтому 4x = 8 и x = 2.

Ответ: 2.

Тема задания — иррациональные уравнения. Область допустимых значений: x > 0, так как корень стоит в знаменателе.

Из 1/√x = 1/10 следует √x = 10. Возводим обе части в квадрат: x = 100.

Это значение допустимо, и исходное равенство выполняется.

Ответ: 100.

Проверяется решение уравнения с преобразованием степеней. Раскроем квадрат: (2x − 6)² − 4x² = 4x² − 24x + 36 − 4x² = 0. Получаем −24x + 36 = 0, поэтому x = 1,5.

Ответ: 1,5.

Задание проверяет решение логарифмического уравнения.

По определению логарифма: −2x + 9 = 5² = 25. Тогда −2x = 16, откуда x = −8; аргумент логарифма при этом положителен.

Ответ: −8.

Проверяется решение логарифмического уравнения. Из равенства log₇(2x + 3) = 1 следует 2x + 3 = 7¹ = 7. Тогда 2x = 4 и x = 2; аргумент логарифма положителен.

Ответ: 2.

Проверяется решение логарифмического уравнения.

Из log₁₃(−4x + 23) = 2 получаем −4x + 23 = 13² = 169.

Тогда −4x = 146 и x = −36,5. Аргумент логарифма равен 169, поэтому условие допустимости выполнено.

Ответ: −36,5.

Задание проверяет решение показательного уравнения: при одинаковом основании приравниваем показатели.

Основания равны 2, поэтому 3 − x = 5 − 2x. Прибавляем 2x и вычитаем 3: x = 2.

Ответ: 2.

Проверяется решение логарифмического уравнения по определению логарифма.

Из log₁₁(5x + 106) = 2 следует 5x + 106 = 11² = 121.

Тогда 5x = 15 и x = 3. Аргумент логарифма при этом положителен.

Ответ: 3.

Проверяется решение иррационального уравнения.

Возводим обе части в квадрат: −16 − 8x = 16, откуда −8x = 32 и x = −4.

Проверка: √(−16 − 8·(−4)) = √16 = 4.

Ответ: −4.

Проверяется решение логарифмического уравнения с одинаковым основанием. По свойству логарифмов: log₅(2x − 6) − log₅2 = log₅((2x − 6)/2). Тогда (2x − 6)/2 = 3, откуда 2x − 6 = 6 и x = 6. Проверка области определения: 2x − 6 > 0, найденное значение подходит. Ответ: 6.