Задание 17 ЕГЭ по базовой математике

Задание проверяет решение иррационального уравнения.

Возводим обе части в квадрат: 7x + 14 = 49, откуда 7x = 35 и x = 5. Проверка: √(7 · 5 + 14) = √49 = 7.

Ответ: 5.

Задание проверяет решение показательного уравнения. Представим 32 как степень двойки: 32 = 2⁵. Тогда 2^{1 − 4x} = 2⁵, поэтому 1 − 4x = 5. Решая линейное уравнение, получаем x = −1.

Ответ: −1.

Задание проверяет решение показательного уравнения. Представим 1/9 как степень числа 3: 1/9 = 3⁻². Тогда 3^{x − 11} = 3⁻², следовательно, x − 11 = −2 и x = 9.

Ответ: 9.

Здесь проверяется решение логарифмического уравнения с одинаковым основанием. По свойству суммы логарифмов log₇(x + 4) + log₇ 2 = log₇(2(x + 4)). Значит, 2(x + 4) = 12, откуда x = 2. Аргумент x + 4 положителен.

Ответ: 2.

Используем свойство степеней: при умножении степеней с основанием 2 показатели складываются.

Получаем 2^{2x−1−4x−3} = 16 = 2⁴, значит, −2x−4 = 4.

Отсюда −2x = 8 и x = −4.

Ответ: −4.

Проверяется решение иррационального уравнения. Возведём обе части в квадрат: 9x − 18 = 36, откуда 9x = 54 и x = 6. Проверка: √(9 · 6 − 18) = √36 = 6.

Ответ: 6.

Задание проверяет решение показательного уравнения. Представим 64 как степень восьми: 64 = 8². Тогда 8^(5 + x) = 8², поэтому 5 + x = 2 и x = −3. Ответ: −3.

Задание проверяет решение линейного уравнения.

Раскроем скобки: −2(−5 − 3x) − 5x = 10 + 6x − 5x. Получаем 10 + x = −2, откуда x = −12.

Ответ: −12.

Задание проверяет решение логарифмического уравнения. По определению логарифма log₄(2x + 5) = 3 означает 2x + 5 = 4³ = 64.

Тогда 2x = 59 и x = 29,5; аргумент логарифма при этом положителен. Ответ: 29,5.

Проверяется решение логарифмического уравнения: если логарифмы имеют одинаковое основание, равны их аргументы. Получаем 4x + 35 = 3, поэтому 4x = −32 и x = −8. Аргумент логарифма при этом равен 3, условие области определения выполнено. Ответ: −8.

Проверяется умение решать логарифмическое уравнение. По определению логарифма log₂(−5x + 3) = −1 означает −5x + 3 = 2^-1 = 0,5. Тогда −5x = −2,5, откуда x = 0,5; аргумент логарифма при этом равен 0,5 и положителен.

Ответ: 0,5.

Проверяется решение показательного уравнения. Представим 49 как 7²: (1/7)^(1 − x) = 7², то есть 7^(x − 1) = 7². При равных основаниях показатели равны: x − 1 = 2, поэтому x = 3.

Ответ: 3.

Проверяется решение квадратного уравнения и выбор большего корня.

x² − 6x − 27 = 0. Разложим на множители: (x − 9)(x + 3) = 0, поэтому корни 9 и −3.

Больший корень — 9.

Ответ: 9.

Задание проверяет решение показательного уравнения. Представим 1/16 как (1/4)²: основания степеней совпадают и не равны 1, поэтому равны показатели.

x − 9 = 2, откуда x = 11.

Ответ: 11.

Проверяется решение показательного уравнения. Основания степеней одинаковы, поэтому складываем показатели: (1/3)^(4x − 4 + 2 − 3x) = 1, то есть (1/3)^(x − 2) = 1.

Степень положительного основания, отличного от 1, равна 1 только при показателе 0. Значит, x − 2 = 0.

Ответ: 2.

Проверяется решение линейного уравнения. Перенесём слагаемые с x влево, числа вправо: 10x + 4x = 10 − 3, откуда 14x = 7 и x = 0,5.

Ответ: 0,5.

Задание проверяет решение дробно-рационального уравнения с корнем. Область допустимых значений: x > 0. Из 1/√x = 1/2 получаем √x = 2, поэтому x = 4.

Проверка: 1/√4 = 1/2. Ответ: 4.

Представим обе части как степени числа 2: (1/2)^{3x − 4} = (1/2)².

Основания одинаковы, значит 3x − 4 = 2. Тогда 3x = 6 и x = 2.

Ответ: 2.

Проверяется решение линейного уравнения: раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

−3 − 3(2x − 9) = 6, откуда −3 − 6x + 27 = 6, затем 18 = 6x и x = 3.

Ответ: 3.

Проверяется преобразование выражения с квадратами. Раскроем скобки: (2x − 3)² − 4x² = 4x² − 12x + 9 − 4x² = 9 − 12x. Тогда 9 − 12x = 0, откуда x = 9/12 = 0,75.

Ответ: 0,75.