Задание 17 ЕГЭ по базовой математике

Задание проверяет решение показательного уравнения приведением степеней к общему основанию.

Так как 16 = 4², получаем 4^5−x = 4^4x−12. При равных основаниях показатели равны: 5 − x = 4x − 12, откуда 17 = 5x и x = 3,4.

Ответ: 3,4.

Задание проверяет решение простейших квадратных уравнений и выбор меньшего корня.

Из x² = 9 получаем x = −3 или x = 3, поскольку оба числа в квадрате дают 9.

Меньший корень — −3.

Ответ: −3.

Задание проверяет свойства степеней с одинаковым основанием.

Сложим показатели: 2^(3x + 4) · 2^(5 − 2x) = 2^(x + 9). Так как 64 = 2^6, имеем 2^(x + 9) = 2^6, значит x + 9 = 6.

Отсюда x = −3.

Ответ: −3.

Проверяется решение показательного уравнения: представим правую часть как степень с основанием 1/3. Так как 1/27 = (1/3)³, получаем 2x − 19 = 3. Тогда 2x = 22, откуда x = 11.

Ответ: 11.

Задание проверяет решение квадратного уравнения и выбор большего корня.

x² = 5x, значит x² − 5x = 0. Вынесем x за скобки: x(x − 5) = 0, откуда x = 0 или x = 5. Больший корень — 5.

Ответ: 5.

В логарифмическом уравнении с одинаковым основанием можно объединить логарифмы произведения: log₅(x + 3) + log₅4 = log₅(4(x + 3)).

Тогда 4(x + 3) = 16, откуда x + 3 = 4 и x = 1. Область допустимых значений x + 3 > 0 выполнена.

Ответ: 1.

Задание проверяет решение уравнения с квадратами выражений.

Из равенства (x+3)² = (x−9)² следует x+3 = x−9 или x+3 = −(x−9). Первое равенство невозможно, а из второго получаем 2x = 6, поэтому x = 3.

Ответ: 3.

Возведём обе части уравнения в квадрат: 10 − x = 9.

Тогда x = 1. Проверка: √(10 − 1) = √9 = 3.

Ответ: 1.

Проверим задание на решение показательного уравнения.

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: (1/5)^3x−6 : (1/5)^2x−2 = (1/5)^x−4. Так как 1 = (1/5)⁰, получаем x−4 = 0.

Ответ: 4.

Задание проверяет решение показательного уравнения. Представим обе части как степени двойки: 2^8−3x = (2⁻⁴)^x+9 = 2^−4x−36. При равных основаниях приравниваем показатели: 8 − 3x = −4x − 36, откуда x = −44.

Ответ: −44.

Представим 1/8 как (1/2)³. Тогда уравнение имеет одинаковые основания: (1/2)^2x−5 = (1/2)^3x+21.

Основание 1/2 положительно и не равно 1, поэтому приравниваем показатели: 2x − 5 = 3x + 21. Отсюда x = −26.

Ответ: −26.

Проверяется решение показательного уравнения.

Представим 49 как степень числа 1/7: 49 = (1/7)⁻².

Тогда (1/7)^{x − 5} = (1/7)⁻², откуда x − 5 = −2.

Значит, x = 3.

Ответ: 3.

Линейное уравнение решается переносом слагаемых с x в одну часть, чисел — в другую.

Из 1 + 3x = −2x + 2 получаем 5x = 1, поэтому x = 1/5 = 0,2.

Ответ: 0,2.

Иррациональное уравнение: область допустимых значений задаётся условием 13 − x ≥ 0. Возведём обе части в квадрат: 13 − x = 9, откуда x = 4. Проверка: √(13 − 4) = √9 = 3.

Ответ: 4.

Это задание проверяет решение логарифмических уравнений. Область допустимых значений: 2x − 11 > 0, то есть x > 5,5. По свойству логарифмов ln 23 − ln(2x − 11) = ln(23/(2x − 11)), поэтому 23/(2x − 11) = 5. Отсюда 2x − 11 = 23/5 и x = 39/5 = 7,8; значение допустимо. Ответ: 7,8.

Задание проверяет свойства логарифмов с одинаковым основанием и переход к равенству аргументов.

log₁₁(4x − 11) + log₁₁9 = log₁₁(9(4x − 11)), поэтому 9(4x − 11) = 243.

Делим на 9: 4x − 11 = 27, откуда x = 9,5. Область определения соблюдена: 4x − 11 > 0.

Ответ: 9,5.

Задание проверяет применение свойств логарифмов и переход от равных логарифмов к равным аргументам.

log_1/2(2x + 5) − log_1/213 = log_1/2((2x + 5)/13), поэтому (2x + 5)/13 = 5.

Тогда 2x + 5 = 65 и x = 30. Аргументы логарифмов положительны при этом значении.

Ответ: 30.

Это задание проверяет решение показательных уравнений. Представим правую часть как степень числа 1/4: 1/64 = (1/4)³. Поскольку основание 1/4 положительно и не равно 1, приравниваем показатели: 4x − 13 = 3. Тогда 4x = 16, откуда x = 4. Ответ: 4.

Это задание проверяет решение квадратных уравнений. Из уравнения x² − 9 = 0 получаем x² = 9, значит, x = −3 или x = 3. По условию выбираем больший корень. Ответ: 3.

Проверяется решение логарифмического уравнения; аргументы логарифмов должны быть положительными.

Объединим логарифмы: log_0,2(2x − 3) + log_0,27 = log_0,2(7(2x − 3)). Тогда 7(2x − 3) = 28, откуда 2x − 3 = 4 и x = 3,5.

При x = 3,5 аргумент 2x − 3 положителен. Ответ: 3,5.