Задание 17 ЕГЭ по базовой математике

Логарифмы с одинаковым основанием 17 равны, если равны их аргументы; оба аргумента должны быть положительными.

Поэтому 29 − 6x = 5, откуда 6x = 24 и x = 4.

При x = 4 аргумент равен 5, условие области определения выполнено.

Ответ: 4.

Проверяется применение свойства логарифмов: log_1,2a − log_1,2b = log_1,2(a/b). Получаем log_1,2((2x − 3)/2) = log_1,27, поэтому (2x − 3)/2 = 7. Отсюда 2x − 3 = 14 и x = 8,5; аргументы логарифмов положительны.

Ответ: 8,5.

Это задание проверяет решение показательных уравнений. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: (1/4)^(3x − 5) · (1/4)^(1 − 2x) = (1/4)^(x − 4). Так как 1 = (1/4)⁰, получаем x − 4 = 0, откуда x = 4. Ответ: 4.

Раскроем квадрат разности: (x − 5)² = x² − 10x + 25.

Тогда x² − 10x + 25 − x² = 0, откуда −10x + 25 = 0 и x = 2,5.

Ответ: 2,5.

Показательное уравнение решается приведением обеих частей к основанию 2: 8 = 2³, поэтому 2^3−x = 2^15−6x.

Основания равны и больше 1, значит, 3−x = 15−6x. Отсюда 5x = 12 и x = 2,4.

Ответ: 2,4.

Задание проверяет решение показательного уравнения. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: (1/3)^(−2x+1) : (1/3)^(4x−5) = (1/3)^(−6x+6). Так как 1/27 = (1/3)³, приравниваем показатели: −6x + 6 = 3. Отсюда x = 0,5. Ответ: 0,5.

Представим 1/49 как (1/7)². Основания степеней одинаковы, положительны и не равны 1, поэтому приравниваем показатели: 5x − 3 = 2.

Тогда 5x = 5 и x = 1.

Ответ: 1.

Квадратное уравнение можно разложить на множители: x² + 2x = x(x + 2) = 0.

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: x = 0 или x = −2. Меньший корень — −2.

Ответ: −2

Проверяется решение показательного уравнения: нужно представить обе части как степени одного основания.

Поскольку 1/27 = (1/3)³, получаем x − 18 = 3. Тогда x = 21.

Ответ: 21.

Задание проверяет решение линейного уравнения с раскрытием скобок.

Раскроем скобки: 7 − 5(7 − 2x) = 6x − 4, то есть 10x − 28 = 6x − 4. Тогда 4x = 24 и x = 6.

Ответ: 6.

Задание проверяет решение квадратного уравнения. Перенесём всё в одну часть: x² − 7x + 12 = 0.

Разложим на множители: (x − 3)(x − 4) = 0, поэтому корни 3 и 4. Требуется меньший корень.

Ответ: 3.

Представим 25 как степень числа 5: 25 = 5².

Тогда из 5^(x − 1) = 5² следует x − 1 = 2, значит, x = 3.

Ответ: 3.

Задание проверяет решение показательного уравнения.

Число 1/49 равно (1/7)², поэтому (1/7)^x−13 = (1/7)². Основания одинаковы и не равны 1, значит, x−13 = 2, откуда x = 15.

Ответ: 15.

Проверяется решение показательного уравнения. Представим 36 как степень числа 1/6: 36 = (1/6)⁻². Тогда x − 3 = −2, откуда x = 1.

Ответ: 1.

Это задание проверяет решение иррациональных уравнений. Возводим обе части уравнения √(7 − x) = 3 в квадрат: 7 − x = 9, поэтому x = −2. Проверка: √(7 − (−2)) = √9 = 3, равенство верно. Ответ: −2.

Задание проверяет решение логарифмического уравнения.

При одинаковых основаниях логарифмы равны, когда равны их аргументы: 7x−12 = 23. Тогда 7x = 35 и x = 5; аргументы при этом положительны.

Ответ: 5.

При x > 0 из равенства 1/√x = 1/5 следует √x = 5.

Возводим обе части в квадрат: x = 25. Это значение удовлетворяет условию x > 0.

Ответ: 25

Представим 1/16 как (1/2)⁴. Получаем равенство степеней с одинаковым основанием: 3 − 5x = 4(1 − x).

Раскрываем скобки: 3 − 5x = 4 − 4x, откуда −x = 1 и x = −1.

Ответ: −1.

Задание проверяет решение квадратного уравнения и выбор меньшего корня. Из x² − 25 = 0 следует x² = 25, поэтому x = −5 или x = 5. Меньший корень — −5. Ответ: −5.

Задание проверяет решение квадратного уравнения и выбор меньшего корня.

Из x² = 16 получаем x = −4 или x = 4, поскольку (−4)² = 4² = 16.

Меньший корень: −4. Ответ: −4.