Задание 11 ЕГЭ по базовой математике

Задание проверяет нахождение объёма полностью погружённой детали по подъёму жидкости.

Объём детали равен объёму вытесненной жидкости: V = S · Δh, где S — площадь основания бака, Δh — подъём уровня.

Вычислим: V = 80 · 10 = 800 см³.

Ответ: 800.

Задание проверяет вычисление площади поверхности детали с вырезом.

Деталь представляет собой прямую призму высотой 1 см, в основании которой из квадрата со стороной 6 см вырезан квадрат со стороной 2 см у края.

Площадь основания равна S = 6 · 6 − 2 · 2 = 32 см².

Периметр основания равен P = 4 · 6 + 2 · 2 = 28 см: вместо удалённого участка края появляются три стороны выреза.

Площадь поверхности равна 2S + P · 1 = 2 · 32 + 28 · 1 = 92 см².

Ответ: 92.

Задание проверяет вычисление объёма детали по подъёму уровня жидкости в призме.

Основание правильной четырёхугольной призмы — квадрат, поэтому его площадь S = 30² = 900 см².

Объём полностью погружённой детали равен объёму вытесненной жидкости: V = S · Δh, где Δh — подъём уровня.

Получаем V = 900 · 10 = 9000 см³.

Ответ: 9000.

Задание проверяет вычисление площади боковой поверхности цилиндра.

Развёртка окрашиваемой поверхности — прямоугольник, поэтому S = C · l, где C — внешний обхват трубы, l — её длина.

Переведём длину в сантиметры: 3 м = 300 см, тогда S = 27 · 300 = 8100 см².

Ответ: 8100.

Задание проверяет нахождение объёма детали по подъёму уровня жидкости.

Полностью погружённая деталь вытесняет жидкость, объём которой равен объёму детали.

Основание бака — квадрат, его площадь S = 90² = 8100 см².

Объём детали V = S · Δh = 8100 · 5 = 40500 см³.

Ответ: 40500.

Задание проверяет вычисление объёма жидкости в коническом сосуде.

На рисунке сосуд расположен вершиной вниз, поэтому жидкость образует конус, подобный всему сосуду.

Высота жидкости в 2 раза меньше высоты сосуда, а объёмы подобных тел относятся как кубы соответствующих линейных размеров.

Объём жидкости равен 640 · (1/2)³ = 640/8 = 80 мл.

Ответ: 80.

Задание проверяет вычисление объёма цилиндра и перевод единиц объёма.

Объём равен произведению площади основания на высоту: V = S · h.

Получаем V = 150 · 40 = 6000 см³.

Поскольку 1 л = 1000 см³, объём бака равен 6000/1000 = 6 л.

Ответ: 6.

Задание проверяет связь объёма цилиндра с высотой и нахождение объёма погружённой детали.

По формуле V = S · h при неизменной площади основания объём под уровнем воды увеличивается во столько же раз, что и высота уровня.

После погружения вода вместе с деталью занимает объём 10 · 1,6 = 16 л.

Объём детали равен разности: 16 − 10 = 6 л = 6000 см³.

Ответ: 6000.

Задание проверяет вычисление объёма жидкости в коническом сосуде через подобие конусов.

Жидкость образует конус, высота которого составляет 1/3 высоты сосуда, поэтому коэффициент подобия равен 1/3.

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия: V жидкости = 270 · (1/3)³ = 270/27 = 10 мл.

Ответ: 10.

Задание проверяет нахождение объёма детали по подъёму уровня жидкости.

Объём полностью погружённой детали равен объёму вытесненной жидкости: V = S · Δh.

Основание бака — квадрат, поэтому S = 70² = 4900 см².

Тогда V = 4900 · 10 = 49000 см³.

Ответ: 49000.

Задание проверяет вычисление объёма жидкости в коническом сосуде.

Конус жидкости подобен всему сосуду, а его линейные размеры в 2 раза меньше соответствующих размеров сосуда.

Поэтому объём жидкости составляет (1/2)³ = 1/8 объёма сосуда.

Объём жидкости равен 1400 : 8 = 175 мл.

Ответ: 175.

Задание проверяет применение формулы объёма прямой призмы V = S основания · h.

Основание правильной четырёхугольной призмы — квадрат, площадь которого равна a².

При увеличении стороны основания вдвое его площадь увеличивается в 2² = 4 раза.

Объём воды сохраняется, поэтому её уровень станет в 4 раза ниже: 80 / 4 = 20 см.

Ответ: 20.

Задание проверяет вычисление площади поверхности многогранника.

Деталь представляет собой прямую призму толщиной 1 см: её передняя грань состоит из прямоугольника 4 × 3 см и выступа размером 1 × 1 см.

Площадь передней грани равна 4 · 3 + 1 · 1 = 13 см², а её периметр равен 2 · (4 + 3) + 2 · 1 = 16 см.

Площадь поверхности призмы: S = 2S основания + P основания · h.

Получаем S = 2 · 13 + 16 · 1 = 42 см².

Ответ: 42.

Задание проверяет нахождение объёма детали по подъёму уровня жидкости. Объём полностью погружённой детали равен объёму вытесненной жидкости: V = S основания · Δh. Основание бака — квадрат, поэтому S = 40² = 1600 см², а V = 1600 · 10 = 16000 см³.

Ответ: 16000.

Задание проверяет применение формулы объёма призмы: V = S · h.

Основание сосуда — квадрат, площадь которого равна S = a².

При увеличении стороны основания вдвое площадь увеличивается в 4 раза.

Объём воды сохраняется, поэтому новый уровень равен 40 / 4 = 10 см.

Ответ: 10.

Задание проверяет связь объёма жидкости с площадью основания и высотой её уровня. Для призмы V = Sh, а площадь квадратного основания S = a². При увеличении стороны основания втрое его площадь увеличивается в 3² = 9 раз. Объём воды сохраняется, поэтому новый уровень равен 180 : 9 = 20 см. Ответ: 20.

Площадь окраски складывается из верхних горизонтальных и передних вертикальных граней пяти ступеней. Площадь каждой пары таких граней равна 95 · 30 + 95 · 15 = 4275 см².

Для пяти ступеней получаем 5 · 4275 = 21375 см².

Ответ: 21375.

Задание проверяет умение считать грани составного многогранника. У треугольной призмы 5 граней: 2 основания и 3 боковые грани. У треугольной пирамиды 4 грани: основание и 3 боковые грани. Два склеенных основания оказываются внутри, поэтому у получившегося тела 5 + 4 − 2 = 7 граней. Ответ: 7.

Задание проверяет сравнение объёмов цилиндров по их размерам. Объём цилиндра вычисляется по формуле V = πr²h. Радиус второй кружки в 1,5 раза больше радиуса первой, поэтому площадь её основания больше в 1,5² = 2,25 раза. Высота первой кружки в 4,5 раза больше, следовательно, V₁/V₂ = 4,5/2,25 = 2. Значит, объём второй кружки меньше объёма первой в 2 раза. Ответ: 2.

Задание проверяет вычисление объёма детали по подъёму уровня жидкости в призме. Площадь квадратного основания бака равна S = 40² = 1600 см². При полном погружении деталь вытесняет объём жидкости, равный собственному объёму: V = S · Δh = 1600 · 15 = 24000 см³. Ответ: 24000.