Практическая стереометрия · 233 задания ФИПИ с ответами
Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в полтора раза ниже второй, а вторая в три раза у́же первой. Во сколько раз объём первой кружки больше объёма второй?
Задание проверяет сравнение объёмов цилиндров. По формуле V = πr²h объём пропорционален квадрату радиуса и высоте. Радиус первой кружки в 3 раза больше, а её высота составляет 1/1,5 высоты второй, поэтому V₁/V₂ = 3²/1,5 = 6.
Ответ: 6.
Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Цифры на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Задание проверяет умение находить площадь поверхности детали из прямоугольных параллелепипедов.
Разделим деталь на параллелепипед размером 2 × 2 × 4 см и куб с ребром 2 см.
Площадь поверхности параллелепипеда: S₁ = 2 · (2 · 2 + 2 · 4 + 2 · 4) = 40 см², куба: S₂ = 6 · 2² = 24 см².
Общая площадка имеет площадь 2 · 2 = 4 см² и находится внутри детали, поэтому её нужно вычесть дважды: S = 40 + 24 − 2 · 4 = 56 см².
Ответ: 56.
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём сосуда равен 2000 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте
в миллилитрах.
Задание проверяет вычисление объёма жидкости с помощью подобия конусов. Высота конуса жидкости составляет 4/5 высоты сосуда, поэтому коэффициент подобия равен 4/5. Объёмы подобных тел относятся как кубы соответствующих линейных размеров. Получаем V = 2000 · (4/5)³ = 2000 · 64/125 = 1024 мл.
Ответ: 1024.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём сосуда равен 1500 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте
в миллилитрах.
Задание проверяет применение подобия при вычислении объёма конуса. На рисунке сосуд расположен вершиной вниз, поэтому жидкость образует меньший конус, подобный всему сосуду. Отношение их высот равно 4/5, а отношение объёмов равно (4/5)³. Объём жидкости составляет 1500 · 64/125 = 768 мл.
Ответ: 768.
| Высота бака цилиндрической формы равна 50 см, а площадь его основания равна 140 квадратным сантиметрам. Чему равен объём этого бака (в литрах)? В одном литре 1000 кубических сантиметров. |
|
Задание проверяет вычисление объёма цилиндра и перевод единиц объёма.
Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту: V = S · h.
Объём бака составляет V = 140 · 50 = 7000 см³.
Поскольку 1 л = 1000 см³, получаем 7000 / 1000 = 7 л.
Ответ: 7.
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём сосуда равен 960 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте
в миллилитрах.
Задание проверяет вычисление объёмов подобных конусов.
Жидкость образует конус, высота которого в 2 раза меньше высоты сосуда, поэтому радиус его основания также в 2 раза меньше.
По формуле V = πr²h/3 объём уменьшается в 2³ = 8 раз.
Объём жидкости равен 960 : 8 = 120 мл.
Ответ: 120.
Пять ступеней лестницы покрасили в тёмный цвет, как показано на рисунке (штриховкой). Найдите площадь окрашенной поверхности, если глубина каждой ступеньки равна 35 см, высота — 15 см, а ширина — 80 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Задание проверяет вычисление площади поверхности, составленной из прямоугольников.
На рисунке окрашены пять горизонтальных поверхностей ступеней и пять вертикальных подступенков.
Площадь горизонтальных поверхностей равна 5 · 35 · 80 = 14000 см².
Площадь вертикальных поверхностей равна 5 · 15 · 80 = 6000 см².
Общая площадь окраски равна 14000 + 6000 = 20000 см².
Ответ: 20000.
Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Цифры на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Задание проверяет вычисление площади поверхности детали с прямоугольным вырезом.
Площадь поверхности исходного параллелепипеда равна 2 · (5 · 3 + 5 · 7 + 3 · 7) = 142 см².
Вырез глубиной 1 см проходит по всей ширине детали и имеет высоту 3 см.
Передняя удалённая поверхность заменяется равной по площади поверхностью внутри выреза, с боков исчезают два прямоугольника площадью по 3 · 1 см², а сверху и снизу выреза появляются два прямоугольника площадью по 5 · 1 см².
Площадь поверхности детали равна 142 − 2 · 3 · 1 + 2 · 5 · 1 = 146 см².
Ответ: 146.
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 15 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
Задание проверяет нахождение объёма конического сосуда через подобие конусов.
Высота конуса жидкости в 2 раза меньше высоты сосуда, поэтому его радиус также в 2 раза меньше.
По формуле V = πr²h/3 объём жидкости составляет (1/2)³ = 1/8 объёма сосуда.
Следовательно, объём сосуда равен 15 · 8 = 120 мл.
Ответ: 120.
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 160 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
Задание проверяет умение находить объём конуса по объёму заполняющей его жидкости.
Конус жидкости подобен всему сосуду: его высота и радиус основания составляют 4/5 соответствующих размеров сосуда.
По формуле V = πr²h/3 отношение объёмов равно (4/5)³ = 64/125.
Объём сосуда: V = 160 · 125/64 = 312,5 мл.
Ответ: 312,5.
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 100 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
Задание проверяет вычисление объёмов подобных конусов.
Жидкость образует конус, высота которого в 2 раза меньше высоты сосуда; его радиус также в 2 раза меньше радиуса сосуда.
По формуле V = πr²h/3 объём жидкости в 2³ = 8 раз меньше объёма сосуда.
Объём сосуда равен 100 · 8 = 800 мл.
Ответ: 800.
Ящик, имеющий форму куба с ребром 20 см без одной грани, нужно покрасить со всех сторон снаружи. Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Задание проверяет вычисление площади поверхности ящика в форме куба.
У куба 6 граней, а после удаления одной грани остаётся 5 квадратных граней.
Площадь каждой грани равна 20² = 400 см².
Площадь наружной поверхности для покраски равна 5 · 400 = 2000 см².
Ответ: 2000.
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 30 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
Задание проверяет вычисление объёмов подобных конусов.
Жидкость образует конус, высота которого составляет 1/3 высоты сосуда.
Объёмы подобных тел относятся как кубы соответствующих линейных размеров: Vж / Vс = (1/3)³ = 1/27.
Поэтому объём сосуда Vс = 30 · 27 = 810 мл.
Ответ: 810.
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 10 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
Задание проверяет нахождение объёмов подобных конусов.
Жидкость образует конус, высота которого составляет 1/3 высоты сосуда; радиус его основания также в 3 раза меньше.
По формуле V = πr²h/3 объёмы относятся как кубы соответствующих высот: (1/3)³ = 1/27.
Объём сосуда равен 10 · 27 = 270 мл.
Ответ: 270.
| От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все её вершины (см. рисунок). Сколько вершин |
|
Задание проверяет подсчёт вершин многогранника после срезания углов.
У треугольной призмы 6 вершин, в каждой из которых сходятся 3 ребра.
При срезании каждой вершины на этих рёбрах образуются 3 новые вершины, а исходная вершина удаляется.
Срезы на рисунке не соединяются, поэтому всего получается 6 · 3 = 18 вершин.
Ответ: 18.
| Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне 45 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить |
|
Задание проверяет связь площади основания и высоты воды при сохранении объёма. Основание правильной четырёхугольной призмы — квадрат, его площадь S = a². Если сторона основания увеличивается втрое, площадь увеличивается в 9 раз. По формуле V = S · h уровень воды уменьшается в 9 раз и становится равным 45 : 9 = 5 см. Ответ: 5.
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 110 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
Задание проверяет вычисление объёмов подобных конусов. Жидкость образует конус, высота которого втрое меньше высоты сосуда. Объёмы подобных тел относятся как кубы соответствующих линейных размеров, поэтому объём жидкости составляет 1/27 объёма сосуда. Полный объём равен 110 · 27 = 2970 мл. Долить нужно 2970 − 110 = 2860 мл.
Ответ: 2860.
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 70 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём детали, если после её погружения уровень жидкости в баке поднялся на 5 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.
Задание проверяет нахождение объёма детали по изменению уровня жидкости. При полном погружении деталь вытесняет объём жидкости, равный собственному объёму. Основание бака — квадрат площадью S = 70² = 4900 см². Поэтому объём детали равен V = S · Δh = 4900 · 5 = 24500 см³.
Ответ: 24500.
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной
призмы, налито 5 л воды. После полного погружения
в воду детали уровень воды в баке увеличился в 2,6 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.
В правильной четырёхугольной призме площадь основания постоянна, поэтому объём до погружения пропорционален высоте воды. После погружения уровень стал в 2,6 раза выше, значит вытесненный деталью объём равен 5 · (2,6 − 1) = 8 л. Переводим в кубические сантиметры: 8 · 1000 = 8000 см³.
Ответ: 8000.
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 10 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
Задание проверяет вычисление объёмов подобных конусов.
Жидкость образует конус, высота и радиус которого в 6 раз меньше соответствующих размеров сосуда.
По формуле V = πr²h/3 объём жидкости в 6³ = 216 раз меньше объёма сосуда.
Объём сосуда равен 10 · 216 = 2160 мл.
Ответ: 2160.
