Задание 11 ЕГЭ по базовой математике

Задание проверяет вычисление площади боковой поверхности цилиндра. Развёртка наружной поверхности трубы — прямоугольник, стороны которого равны длине трубы и её внешнему обхвату. Переведём длину в сантиметры: 5 м = 500 см. Площадь окрашиваемой поверхности равна S = 16 · 500 = 8000 см².

Ответ: 8000.

Задание проверяет вычисление объёма детали по подъёму уровня жидкости.

Основание правильной четырёхугольной призмы — квадрат, поэтому его площадь S = 30² = 900 см².

Объём полностью погружённой детали равен объёму вытесненной жидкости: V = S · Δh.

Получаем V = 900 · 5 = 4500 см³.

Ответ: 4500.

Задание проверяет применение формулы объёма цилиндра: V = πr²h.

При переливании объём воды сохраняется.

Если радиус основания увеличивается в 2 раза, площадь основания увеличивается в 2² = 4 раза.

Поэтому высота воды уменьшится в 4 раза: 20 : 4 = 5 см.

Ответ: 5.

Задание проверяет вычисление объёма прямоугольного параллелепипеда и перевод единиц. Объём находят по формуле V = abc. Получаем V = 60 · 30 · 40 = 72000 см³. Поскольку 1 л = 1000 см³, объём аквариума равен 72000/1000 = 72 л. Ответ: 72.

Задание проверяет вычисление объёма жидкости в коническом сосуде через подобие конусов.

Жидкость образует конус, высота которого составляет 1/4 высоты сосуда.

Радиус также составляет 1/4 радиуса сосуда, поэтому по формуле V = πr²h/3 объёмы относятся как (1/4)³ = 1/64.

Объём жидкости равен 6720 : 64 = 105 мл.

Ответ: 105.

Задание проверяет применение формулы объёма цилиндра V = πr²h. При переливании объём воды сохраняется. Если радиус уменьшить в 1,5 раза, площадь основания уменьшится в 1,5² = 2,25 раза. Значит, высота воды увеличится в 2,25 раза и составит 40 · 2,25 = 90 см.

Ответ: 90.

Задание проверяет применение формулы объёма цилиндра V = πr²h.

При переливании объём воды сохраняется, поэтому высота воды обратно пропорциональна площади основания.

Радиус увеличился в 2,5 раза, значит, площадь основания увеличилась в 2,5² = 6,25 раза.

Новая высота воды равна 50 : 6,25 = 8 см.

Ответ: 8.

Задание проверяет применение подобия к объёмам конусов.

Жидкость образует конус с высотой в 3 раза меньше высоты сосуда, поэтому его радиус тоже в 3 раза меньше.

По формуле V = πr²h / 3 объём жидкости в 3³ = 27 раз меньше объёма сосуда.

Вместимость сосуда равна 130 · 27 = 3510 мл.

Долить нужно 3510 − 130 = 3380 мл.

Ответ: 3380.

Задание проверяет нахождение объёма детали по подъёму уровня жидкости.

Объём полностью погружённой детали равен объёму вытесненной жидкости: V = S основания · Δh.

Основание правильной четырёхугольной призмы — квадрат, его площадь равна 60² = 3600 см².

Объём детали равен 3600 · 10 = 36000 см³.

Ответ: 36000.

Задание проверяет умение вычислять объём жидкости в коническом сосуде с помощью подобия.

Конус жидкости подобен всему сосуду с коэффициентом 3/4.

Объёмы подобных конусов относятся как куб коэффициента подобия, поэтому жидкость занимает (3/4)³ = 27/64 объёма сосуда.

Объём жидкости: V = 2240 · 27/64 = 945 мл.

Ответ: 945.

Задание проверяет умение вычислять площадь поверхности многогранника.

Деталь представляет собой прямую призму глубиной 3 см с основанием в форме ступеньки.

Площадь основания: S = 2 · 5 + 1 · 2 = 12 см².

Периметр основания: P = 3 + 2 + 1 + 3 + 2 + 5 = 16 см, где длина внутреннего вертикального отрезка равна 5 − 2 = 3 см.

Площадь поверхности призмы равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности: 2 · 12 + 16 · 3 = 72 см².

Ответ: 72.

Задание проверяет нахождение объёма конуса по объёму подобного конуса.

Конус жидкости имеет высоту и радиус основания в 4 раза меньше, чем сосуд.

По формуле V = πr²h/3 его объём составляет (1/4)³ = 1/64 объёма сосуда.

Следовательно, объём сосуда равен 30 · 64 = 1920 мл.

Ответ: 1920.

Задание проверяет вычисление объёмов подобных конусов. Высота и радиус конуса жидкости составляют половину соответствующих размеров сосуда. Поэтому жидкость занимает (1/2)³ = 1/8 объёма сосуда. Вместимость сосуда равна 190 · 8 = 1520 мл. Чтобы наполнить сосуд, нужно долить 1520 − 190 = 1330 мл.

Ответ: 1330.

Задание проверяет применение подобия конусов к объёмам жидкости.

На рисунке сосуд обращён вершиной вниз, поэтому жидкость образует конус, подобный всему сосуду, с отношением высот 2/3.

Объёмы подобных тел относятся как кубы соответствующих размеров: 180/V = (2/3)³ = 8/27.

Вместимость сосуда V = 180 · 27/8 = 607,5 мл.

Нужно долить 607,5 − 180 = 427,5 мл.

Ответ: 427,5.

Задание проверяет вычисление объёма прямоугольного параллелепипеда и перевод единиц. Используем формулу V = abc. Объём аквариума равен 60 · 20 · 50 = 60000 см³. Так как 1 л = 1000 см³, получаем 60000/1000 = 60 л. Ответ: 60.

Задание проверяет умение вычислять объёмы подобных конусов.

На рисунке вершина сосуда направлена вниз, поэтому жидкость образует конус, подобный всему сосуду.

Высота жидкости составляет 1/6 высоты сосуда, значит, все соответствующие линейные размеры уменьшены в 6 раз.

Объёмы подобных тел относятся как кубы соответствующих линейных размеров: V жидкости = 1620 · (1/6)³ = 1620 / 216 = 7,5 мл.

Ответ: 7,5.

Задание проверяет применение формулы объёма цилиндра при переливании воды.

Объём воды сохраняется, а объём цилиндра вычисляется по формуле V = πr²h.

При уменьшении радиуса вдвое площадь основания уменьшается в 4 раза.

Поэтому уровень воды увеличится в 4 раза: 10·4 = 40 см.

Ответ: 40.

Задание проверяет нахождение объёма детали по подъёму жидкости в призматическом баке.

Основание правильной четырёхугольной призмы — квадрат, поэтому его площадь S = 40² = 1600 см².

Объём полностью погружённой детали равен объёму вытесненной жидкости: V = S · Δh.

Получаем V = 1600 · 5 = 8000 см³.

Ответ: 8000.

Задание проверяет применение подобия при вычислении объёма конуса. Высота конуса жидкости в 2 раза меньше высоты сосуда. Объёмы подобных тел относятся как кубы соответствующих линейных размеров, поэтому объём жидкости составляет (1/2)³ = 1/8 объёма сосуда. Объём сосуда Vс = 40 · 8 = 320 мл.

Ответ: 320.

Задание проверяет вычисление площади поверхности многогранника.

Деталь можно рассматривать как прямую призму длиной 3 см с С-образным основанием.

Площадь основания равна S = 4 · 6 − 2 · 3 = 18 см².

Периметр основания равен P = 2 · (4 + 6) + 2 · 2 = 24 см: вырез добавляет два горизонтальных отрезка по 2 см.

Площадь всей поверхности равна 2S + P · 3 = 2 · 18 + 24 · 3 = 108 см².

Ответ: 108.