Задание 10 ЕГЭ по профильной математике

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f=30$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 20 см до 40 см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана $—$ в пределах от 160 см
до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение

$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}$.

На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0=295\text{Гц}$. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит
от скорости тепловоза $v$ (в м/с) и изменяется по закону $f\left(v\right)=\frac{f_0}{1-\frac{v}{c}}$ (Гц),
где $c$ $—$ скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите,
с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз,
если человек смог различить сигналы, а $c=300\text{м/с}\text{.}$ Ответ дайте в $\text{м/с}\text{.}$

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C=8\cdot {10}^{-6}\text{Ф}\text{.}$ Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $R=5\cdot {10}^6\text{Ом}\text{.}$ Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0=56\text{кВ}\text{.}$ После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (в киловольтах) за время (в секундах), определяемое выражением $t=\alpha RC{\log }_2\frac{U_0}{U}$, где $\alpha =\mathrm{1,5}$ $—$ постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло
180 секунд. Ответ дайте в киловольтах.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому ${\displaystyle P=\text{σ}S{T}^4\text{},}$ где ${\displaystyle P}$ — мощность излучения звезды (в Вт), ${\displaystyle \text{σ}=\mathrm{5,7}\cdot {10}^{-8}\frac{\text{Вт}}{{\text{м}}^2\cdot {\text{К}}^4}}$ — постоянная, ${\displaystyle S}$ — площадь поверхности звезды (в ${\displaystyle {\text{м}}^2}$), а ${\displaystyle T}$ — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна ${\displaystyle \frac{1}{2401}\cdot {10}^{22}{\text{м}}^2\text{},}$ а мощность её излучения равна ${\displaystyle \mathrm{5,7}\cdot {10}^{26}\text{Вт}\text{.}}$ Найдите температуру этой звезды. Ответ дайте в кельвинах.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ (в $\text{км}/\text{}{\text{ч}}^2$ ). Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la},$ где $l$ $—$ пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,5 км, развить скорость 70 км/ч. Ответ дайте в $\text{км}/\text{}{\text{ч}}^2\text{}.$

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора ${\displaystyle C=5\cdot {10}^{-6}\text{Ф}\text{.}}$ Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением ${\displaystyle R=3\cdot {10}^6\text{Ом}\text{.}}$ Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе ${\displaystyle U_0=32\text{кВ}\text{.}}$ После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (в киловольтах) за время (в секундах), определяемое выражением ${\displaystyle t=\alpha RC{\log }_2\frac{U_0}{U}}$, где ${\displaystyle \alpha =\mathrm{1,5}}$ — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло
90 секунд. Ответ дайте в киловольтах.

К источнику с ЭДС ${\displaystyle \text{ε}=180\text{В}}$ и внутренним сопротивлением ${\displaystyle r=1\text{Ом}}$ хотят подключить нагрузку с сопротивлением ${\displaystyle R}$ (в Ом). Напряжение (в В) на этой нагрузке вычисляется по формуле ${\displaystyle U=\frac{\text{ε}R}{R+r}}$. При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно ${\displaystyle 170\text{В}}$? Ответ дайте в омах.

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону ${\displaystyle h\left(t\right)=\mathrm{1,4}+9t-5t^2}$, где ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle —}$ высота в метрах, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle —}$ время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться
на высоте не менее 3 метров?

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ (в $\text{км}/\text{}{\text{ч}}^2$ ). Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la},$ где $l$ $—$ пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,4 км, развить скорость 80 км/ч. Ответ дайте в $\text{км}/\text{}{\text{ч}}^2\text{}.$

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону ${\displaystyle \text{φ}=\text{ω}t+\frac{\text{β}{t}^2}{2}}$,
где ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle —}$ время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, ${\displaystyle \text{ω}=50\text{град}./\text{мин}}$ ${\displaystyle —}$ начальная угловая скорость вращения катушки,
а ${\displaystyle \text{β}=4\text{град}./{\text{мин}}^2}$ ${\displaystyle —}$ угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки ${\displaystyle \text{φ}}$ достиг ${\displaystyle 2500°}$. Ответ дайте в минутах.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону ${\displaystyle \text{φ}=\text{ω}t+\frac{\text{β}{t}^2}{2}}$,
где ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle —}$ время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, ${\displaystyle \text{ω}=15\text{град}./\text{мин}}$ ${\displaystyle —}$ начальная угловая скорость вращения катушки,
а ${\displaystyle \text{β}=6\text{град}./{\text{мин}}^2}$ ${\displaystyle —}$ угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки ${\displaystyle \text{φ}}$ достиг ${\displaystyle 2250°}$. Ответ дайте в минутах.

Водолазный колокол, содержащий $\text{υ}=3$ моль воздуха объёмом $V_1=16\text{л}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$ (в л). Работа (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\text{αυ}T{\log }_2\frac{V_1}{V_2}$,
где $\text{α}=\mathrm{9,9}$ $\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{К}}$ $—$ постоянная, $T=300\text{К}$ $—$ температура воздуха. Найдите, какой объём $V_2$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа 26 730 Дж. Ответ дайте в литрах.

Водолазный колокол, содержащий $\upsilon =5$ моль воздуха при давлении
$p_1=11$ атмосфер, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$ (в атмосферах). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha \text{υ}T{\log }_2\frac{p_2}{p_1}$, где $\alpha =\mathrm{5,8}\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{K}}$ $—$ постоянная, $T=300\text{K}$ $—$ температура воздуха. Найдите давление $p_2$ воздуха в колоколе,
если при сжатии воздуха была совершена работа в 26 100 Дж.
Ответ дайте в атмосферах.

Водолазный колокол, содержащий $\text{υ}=3$ моль воздуха объёмом $V_1=80\text{л}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$ (в л). Работа, совершаемая
водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha \text{υ}T{\log }_2\frac{V_1}{V_2}$,
где $\alpha =\mathrm{5,8}\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{К}}$ $—$ постоянная, $T=300\text{К}$ $—$ температура воздуха. Найдите, какой объём $V_2$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 20 880 Дж. Ответ дайте в литрах.

Два тела, массой ${\displaystyle m=9\text{кг}}$ каждое, движутся с одинаковой скоростью ${\displaystyle v=6\text{м}/\text{}\text{c}}$ под углом ${\displaystyle 2\text{α}}$ друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле ${\displaystyle Q=m{v}^2{\sin }^2\text{α}}$, где ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle —}$ масса (в кг), ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle —}$ скорость (в м/с). Найдите, под каким углом ${\displaystyle 2\text{α}}$ должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная 81 Дж. Ответ дайте в градусах.

Автомобиль, движущийся со скоростью ${\displaystyle v_0=24\text{м/с}}$, начал торможение
с постоянным ускорением ${\displaystyle a=3{\text{м/с}}^2}$. За ${\displaystyle t}$ секунд после начала торможения он прошёл путь ${\displaystyle S=v_{0}t-\frac{a{t}^2}{2}}$ (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал
90 метров. Ответ дайте в секундах.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана$–$Больцмана, согласно которому $P=\text{σ}S{T}^4$, где $P$ $—$ мощность излучения звезды (в Вт), $\text{σ}=\mathrm{5,7}\cdot {10}^{-8}\frac{\text{Вт}}{{\text{м}}^2\cdot {\text{К}}^4}$ $—$ постоянная, $S$ $—$ площадь поверхности звезды (в ${\text{м}}^2$ ), а $T$ $—$ температура (в К). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\frac{1}{256}\cdot {10}^{21}{\text{м}}^2$, а мощность её излучения равна $\mathrm{9,12}\cdot {10}^{26}\text{Вт}$. Найдите температуру этой звезды. Ответ дайте в кельвинах.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ (в $\text{км}/\text{}{\text{ч}}^2$ ). Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la},$ где $l$ $—$ пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 1 км, приобрести скорость 120 км/ч. Ответ дайте в $\text{км}/\text{}{\text{ч}}^2\text{}.$

Водолазный колокол, содержащий $\text{υ}=3$ моль воздуха при давлении
$p_1=\mathrm{1,4}$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$
(в атмосферах). Работа A (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\text{αυ}T{\log }_2\frac{p_2}{p_1}$, где $\text{α}=\mathrm{10,9}$ $\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{K}}$ $—$ постоянная, $T=300\text{K}$ $—$ температура воздуха. Найдите давление $p_2$ воздуха в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа 29 430 Дж. Ответ дайте в атмосферах.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a=32000\text{км}/\text{}{\text{ч}}^2\text{}.$ Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la},$ где $l$ $—$ пройденный автомобилем путь (в км). Найдите,
сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 160 км/ч.