Задание 10 ЕГЭ по профильной математике

Автомобиль, движущийся со скоростью $v_0=15$ м/⁠с, начал торможение с постоянным ускорением $a=2$ м/⁠с². За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь $S=v_{0}t-\frac{a{t}^2}{2}$ (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 36 метров. Ответ дайте в секундах.

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C=8\cdot {10}^{-6}$ Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $R=5\cdot {10}^6$ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0=56$ кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (в киловольтах) за время (в секундах), определяемое выражением $t=\alpha RC{\log }_2\frac{U_0}{U}$, где $\alpha =\mathrm{1,5}$ — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 180 секунд. Ответ дайте в киловольтах.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ (в км/⁠ч²). Скорость $v$ (в км/⁠ч) вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,3 км, развить скорость 120 км/⁠ч. Ответ дайте в км/⁠ч².

Водолазный колокол, содержащий $\text{υ}=8$ моль воздуха при давлении
$p_1=20$ атмосфер, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$ (в атмосферах). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha \text{υ}T{\log }_2\frac{p_2}{p_1}$, где $\alpha =\mathrm{5,8}\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{K}}$ $—$ постоянная, $T=300\text{K}$ $—$ температура воздуха. Найдите давление $p_2$ воздуха в колоколе,
если при сжатии воздуха была совершена работа в 27 840 Дж.
Ответ дайте в атмосферах.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью ${\displaystyle v_0=60\text{км/ч}}$, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением ${\displaystyle a=32{\text{км/ч}}^2}$. Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле ${\displaystyle S=v_{0}t+\frac{a{t}^2}{2}}$, где ${\displaystyle t}$ — время (в часах), прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 154 км. Ответ дайте в минутах.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону ${\displaystyle H\left(t\right)=a{t}^2+bt+H_0}$, где ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle —}$ высота столба воды в метрах, ${\displaystyle H_0=8\text{м}}$ ${\displaystyle —}$ начальный уровень воды, ${\displaystyle a=\frac{1}{72}\text{м}/{\text{мин}}^2}$
и ${\displaystyle b=-\frac{2}{3}\text{м}/\text{мин}}$ ${\displaystyle —}$ постоянные, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle —}$ время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. Сколько минут вода будет вытекать из бака?

Два тела, массой ${\displaystyle m=6\text{кг}}$ каждое, движутся с одинаковой скоростью ${\displaystyle v=9\text{м}/\text{}\text{c}}$ под углом ${\displaystyle 2\text{α}}$ друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле ${\displaystyle Q=m{v}^2{\sin }^2\text{α}}$, где ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle —}$ масса (в кг), ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle —}$ скорость (в м/с). Найдите, под каким углом ${\displaystyle 2\text{α}}$ должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная 243 Дж. Ответ дайте в градусах.

Сила тока ${\displaystyle I}$ (в А) в электросети вычисляется по закону Ома: ${\displaystyle I=\frac{U}{R}}$,
где ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle —}$ напряжение электросети (в В), ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle —}$ сопротивление подключаемого электроприбора (в Ом). Электросеть прекращает работать, если сила тока превышает 5 А. Определите, какое наименьшее сопротивление может быть
у электроприбора, подключаемого к электросети с напряжением 220 В, чтобы электросеть продолжала работать. Ответ дайте в омах.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала ${\displaystyle f}$ (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле ${\displaystyle f=f_0\cdot \frac{c+u}{c-v}}$, где ${\displaystyle f_0=140\text{Гц}}$ ${\displaystyle —}$ частота исходного сигнала, ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle —}$ скорость распространения сигнала в среде
(в м/с), а ${\displaystyle u=15\text{м}/\text{}\text{с}}$ и ${\displaystyle v=14\text{м}/\text{}\text{с}}$ ${\displaystyle —}$ скорости источника и приёмника относительно среды. При какой скорости распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике будет равна 150 Гц? Ответ дайте в м/с.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением ${\displaystyle a=2500\text{км}/\text{}{\text{ч}}^2\text{}.}$ Скорость ${\displaystyle v}$ (в км/ч) вычисляется по формуле ${\displaystyle v=\sqrt{2la},}$ где ${\displaystyle l}$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 50 км/ч.

Водолазный колокол, содержащий ${\displaystyle \text{υ}=6}$ моль воздуха объёмом ${\displaystyle V_1=56\text{л}}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма ${\displaystyle V_2}$ (в л). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле ${\displaystyle A=\alpha \text{υ}T{\log }_2\frac{V_1}{V_2}}$, где ${\displaystyle \alpha =\mathrm{5,8}\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{К}}}$ — постоянная, ${\displaystyle T=300\text{К}}$ — температура воздуха. Найдите, какой объём ${\displaystyle V_2}$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 31 320 Дж. Ответ дайте в литрах.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью ${\displaystyle v_0=90\text{км/ч}}$, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением ${\displaystyle a=16{\text{км/ч}}^2}$. Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле ${\displaystyle S=v_{0}t+\frac{a{t}^2}{2},}$ где ${\displaystyle t}$ — время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 72 км. Ответ дайте в минутах.

В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротивление которой составляет $R_1=21$ Ом. Параллельно с ней в розетку предполагается подключить тостер, сопротивление которого $R_2$ (в Ом). При параллельном соединении двух электроприборов с сопротивлениями $R_1$ и $R_2$ их общее сопротивление $R$ вычисляется по формуле $R=\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}$. Для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть
не меньше 18 Ом. Определите наименьшее возможное сопротивление тостера. Ответ дайте в омах.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 299 МГц. Скорость погружения батискафа $v$ (в м/с) вычисляется по формуле $v=с\cdot \frac{f-f_0}{f+f_0},$
где $c=1500\text{м}/\text{}\text{с}$ $—$ скорость звука в воде, $f_0$ $—$ частота испускаемых импульсов (в МГц), $f$ $—$ частота отражённого от дна сигнала (в МГц), регистрируемая приёмником. Определите частоту отражённого сигнала,
если скорость погружения батискафа равна 5 м/с. Ответ дайте в МГц.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием ${\displaystyle f=36}$см. Расстояние ${\displaystyle d_1}$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 см до 50 см, а расстояние ${\displaystyle d_2}$ от линзы до экрана ${\displaystyle —}$ в пределах от 160 см до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение

${\displaystyle \frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}}$.

На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой ${\displaystyle f_0=192\text{Гц}}$. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка ${\displaystyle f}$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза ${\displaystyle v}$ (в м/с) по закону ${\displaystyle f\left(v\right)=\frac{f_0}{1-\frac{v}{c}}}$ (Гц), где ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle —}$ скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 8 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а ${\displaystyle c=300\text{м/с}}$. Ответ дайте в ${\displaystyle \text{м/с}}$.

Водолазный колокол, содержащий ${\displaystyle \text{υ}=2}$ моль воздуха объёмом ${\displaystyle V_1=120\text{л}}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма ${\displaystyle V_2}$ (в л). Работа A (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле ${\displaystyle A=\text{αυ}T{\log }_2\frac{V_1}{V_2}}$,
где ${\displaystyle \text{α}=\mathrm{8,7}\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{К}}}$ — постоянная, ${\displaystyle T=300\text{К}}$ — температура воздуха. Найдите, какой объём ${\displaystyle V_2}$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10 440 Дж. Ответ дайте в литрах.

Автомобиль, движущийся со скоростью ${\displaystyle v_0=15\text{м/с}\text{,}}$ начал торможение с постоянным ускорением ${\displaystyle a=2{\text{м/с}}^2\text{}.}$ За ${\displaystyle t}$ секунд после начала торможения он прошёл путь ${\displaystyle S=v_{0}t-\frac{a{t}^2}{2}}$ (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 36 метров. Ответ дайте в секундах.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением ${\displaystyle a=3500\text{км}/\text{}{\text{ч}}^2\text{}.}$ Скорость ${\displaystyle v}$ (в км/ч) вычисляется по формуле ${\displaystyle v=\sqrt{2la}}$, где ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle —}$ пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 70 км/ч.

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону ${\displaystyle h\left(t\right)=\mathrm{1,6}+13t-5t^2}$, где ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle —}$ высота в метрах, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle —}$ время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться
на высоте не менее 6 метров?