Задание 12 ЕГЭ по профильной математике

График проходит через точку $(5;1)$: $1=\frac{k}{5}$, $k=5$.

$f(10)=\frac{5}{10}=\mathrm{0,5}$.

Прямая $g(x)=kx$ проходит через $(1;5)$, значит, $k=5$.

Парабола проходит через $(0;0)$, $(1;0)$ и $(2;2)$: $c=0$, $a+b=0$, $4a+2b=2$, откуда $a=1$, $b=-1$, $f(x)=x^2-x$.

Точки пересечения: $x^2-x=5x$, $x(x-6)=0$. $x=0$ — это точка $A$, абсцисса точки $B$ равна $6$.

График проходит через точку $(-1;4)$: $a^{-1}=4$, $a=\frac{1}{4}$.

$f(-3)={\left(\frac{1}{4}\right)}^{-3}=4^3=64$.

По рисунку A(−3; −3), а прямая проходит через точку (0; −2).

Для гиперболы k = xy = (−3)·(−3) = 9, поэтому f(x) = 9/x.

Для прямой b = −2; из −3 = −3a − 2 получаем a = 1/3.

В точках пересечения 9/x = x/3 − 2, x ≠ 0.

Умножая на 3x, получаем x² − 6x − 27 = 0, или (x + 3)(x − 9) = 0.

Корень x = −3 соответствует точке A, поэтому абсцисса B равна 9. Ответ: 9.

По рисунку график f(x) = a√x проходит через точку (1; 3).

Подставим её координаты: 3 = a√1, откуда a = 3.

Следовательно, f(49) = 3√49 = 3·7 = 21.

Ответ: 21.

По рисунку график f(x) = a√x проходит через точку (1; 2), поэтому a = 2.

Прямая g(x) = kx проходит через точку (3; 1), поэтому k = 1/3.

В точках пересечения 2√x = x/3, где x ≥ 0.

Положим t = √x, t ≥ 0. Тогда 6t = t², то есть t(t − 6) = 0.

Получаем t = 0 или t = 6, следовательно, x = 0 или x = 36.

Начало координат — точка A, поэтому абсцисса точки B равна 36. Ответ: 36.

Уравнение прямой имеет вид y = kx + b; коэффициенты определим по точкам графика.

Первая прямая проходит через точки (−4; 0) и (0; 4), поэтому её уравнение y = x + 4.

Вторая прямая проходит через точки (0; 0) и (1; 2), поэтому её уравнение y = 2x.

В точке пересечения значения функций равны: x + 4 = 2x, откуда x = 4.

Ответ: 4.

Для функции f(x) = k/x произведение координат любой точки графика равно k.

На графике отмечена точка (2; 2), поэтому k = 2 · 2 = 4.

Следовательно, f(x) = 4/x и f(20) = 4/20 = 0,2.

Ответ: 0,2.

Для функции f(x) = aˣ значение f(1) равно основанию a.

На графике отмечена точка (1; 2), поэтому a = 2.

Следовательно, f(4) = 2⁴ = 16.

Ответ: 16.

По графику парабола проходит через точки (0; 0), (1; 0) и (2; 2).

Поэтому f(x) = ax(x − 1). Подставим (2; 2): 2 = 2a, откуда a = 1 и f(x) = x² − x.

Прямая проходит через (0; 0) и (1; 3), следовательно, g(x) = 3x.

В точках пересечения x² − x = 3x, то есть x(x − 4) = 0.

Получаем x = 0 или x = 4. Началу координат соответствует точка A, поэтому абсцисса B равна 4.

Ответ: 4.

График f(x) = a√x проходит через точку (1; 2), поэтому a = 2.

Прямая g(x) = kx проходит через точку (2; 1), поэтому k = 1/2.

При пересечении графиков 2√x = x/2, где x ≥ 0, то есть 4√x = x.

Обозначим t = √x ≥ 0. Тогда t² = 4t, откуда t(t − 4) = 0.

Следовательно, x = 0 или x = 16. Точка A — начало координат, поэтому для точки B получаем x = 16.

Ответ: 16.

Для показательной функции f(x) = aˣ выполняется f(1) = a.

На графике отмечена точка (1; 5), поэтому a = 5.

Тогда f(2) = 5² = 25.

Ответ: 25.

По графику A(−2; −5) принадлежит гиперболе f(x) = k/x, поэтому k = (−2) · (−5) = 10.

Прямая проходит через A(−2; −5) и (0; −4). Поэтому b = −4, a = (−4 + 5)/(0 + 2) = 1/2.

В точках пересечения 10/x = x/2 − 4, где x ≠ 0.

Умножая на 2x, получаем 20 = x² − 8x, то есть (x − 10)(x + 2) = 0.

Корни x = −2 и x = 10 допустимы. Первый соответствует точке A, поэтому абсцисса B равна 10.

Ответ: 10.

График функции f(x) = a√x проходит через точку (1; 4).

Подставим её координаты: 4 = a√1, откуда a = 4.

Следовательно, f(25) = 4√25 = 4 · 5 = 20.

Ответ: 20.