Задание 10 ЕГЭ по профильной математике

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса m (в мг) уменьшается
по закону ${\displaystyle m=m_0\cdot 2^{-\frac{\tau }{T}}}$, где ${\displaystyle m_0}$ — начальная масса изотопа (в мг), ${\displaystyle \tau }$ — время, прошедшее от начального момента, в минутах, ${\displaystyle T}$ — период полураспада
в минутах. В начальный момент времени масса изотопа 156 мг. Период его полураспада составляет 8 минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 39 мг.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону ${\displaystyle m=m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}}$, где ${\displaystyle m_0}$ ${\displaystyle —}$ начальная масса изотопа, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle —}$ время, прошедшее от начального момента, ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle —}$ период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 100 мг. Период его полураспада составляет 2 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 12,5 мг.

Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте $h$
(в километрах) над землёй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле $l=\sqrt{2Rh},$ где $R=6400\text{км}$ $—$ радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 48 километров? Ответ дайте в километрах.

Автомобиль, движущийся со скоростью ${\displaystyle v_0=23\text{м/с}\text{,}}$ начал торможение с постоянным ускорением ${\displaystyle a=2{\text{м/с}}^2\text{}.}$ За ${\displaystyle t}$ секунд после начала торможения он прошёл путь ${\displaystyle S=v_{0}t-\frac{a{t}^2}{2}}$ (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 132 метра. Ответ дайте в секундах.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы:

${\displaystyle T\left(t\right)=T_0+bt+a{t}^2\text{},}$

где ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle —}$ время (в мин.), ${\displaystyle T_0=1600\text{К}}$, ${\displaystyle a=-5\text{К}/{\text{мин}}^2\text{},}$ ${\displaystyle b=105\text{К}/\text{мин}}$. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1870 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся
в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями $u$ и $v$ (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала $f$ (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле $f=f_0\cdot \frac{c+u}{c-v}$, где $f_0=100\text{Гц}$ $—$ частота исходного сигнала, $c$ $—$ скорость распространения сигнала в среде (в м/с),
а $u=29\text{м}/\text{}\text{с}$ и $v=11\text{м}/\text{}\text{с}$ $—$ скорости приёмника и источника относительно среды. При какой скорости $c$ распространения сигнала в среде частота
сигнала $f$ в приёмнике будет равна 110 Гц? Ответ дайте в м/с.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса m (в мг) уменьшается
по закону $m=m_0\cdot 2^{-\frac{\tau }{T}}\text{},$ где $m_0$ $—$ начальная масса изотопа (в мг), $\tau$ $—$ время (в минутах), прошедшее от начального момента, $T$ $—$ период полураспада
(в минутах). В начальный момент времени масса изотопа равна 20 мг. Период его полураспада составляет 10 минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 5 мг.

Водолазный колокол, содержащий $\text{υ}=6$ моль воздуха при давлении
$p_1=\mathrm{2,5}$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$
(в атмосферах). Работа (в джоулях), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\text{αυ}T{\log }_2\frac{p_2}{p_1}$, где $\text{α}=\mathrm{5,75}$ $\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{K}}$ $—$ постоянная, $T=300\text{K}$ $—$ температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10 350 Дж. Ответ дайте в атмосферах.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a=9000\text{км}/\text{}{\text{ч}}^2\text{}.$ Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la}$, где $l$ $—$ пройденный автомобилем путь (в км). Найдите,
сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится
до скорости 120 км/ч.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 185 МГц. Скорость погружения батискафа $v$ (в м/с) вычисляется по формуле $v=c·\frac{f-f_0}{f+f_0}$,
где $c=1500\text{м}/\text{}\text{с}$ $—$ скорость звука в воде, $f_0$ $—$ частота испускаемых импульсов (в МГц), $f$ $—$ частота отражённого от дна сигнала (в МГц), регистрируемая приёмником. Определите частоту отражённого сигнала, если скорость погружения батискафа равна 20 м/с. Ответ дайте в МГц.

Водолазный колокол, содержащий $\text{υ}=7$ моль воздуха объёмом $V_1=64\text{л}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$ (в л). Работа, совершаемая
водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha \text{υ}T{\log }_2\frac{V_1}{V_2}$,
где $\alpha =\mathrm{5,8}\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{К}}$ $—$ постоянная, $T=300\text{К}$ $—$ температура воздуха. Найдите, какой объём $V_2$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 36 540 Дж. Ответ дайте в литрах.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы:

${\displaystyle T\left(t\right)=T_0+bt+a{t}^2\text{},}$

где ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle —}$ время (в мин.), ${\displaystyle T_0=1380\text{К}}$, ${\displaystyle a=-15\text{К}/{\text{мин}}^2\text{},}$ ${\displaystyle b=165\text{К}/\text{мин}}$. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1800 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся
в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями $u$ и $v$
(в м/с) соответственно, частота звукового сигнала $f$ (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле $f=f_0\cdot \frac{c+u}{c-v}$, где $f_0=160\text{Гц}$ $—$ частота исходного сигнала, $c$ $—$ скорость распространения сигнала в среде
(в м/с), а $u=8\text{м}/\text{}\text{с}$ и $v=11\text{м}/\text{}\text{с}$ $—$ скорости источника и приёмника относительно среды. При какой скорости распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике будет равна 170 Гц? Ответ дайте в м/с.

К источнику с ЭДС $\text{ε}=130\text{В}$ и внутренним сопротивлением $r=1\text{Ом}$ хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ (в Ом). Напряжение (в В) на этой нагрузке вычисляется по формуле $U=\frac{\text{ε}R}{R+r}$. При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно $120\text{В}$? Ответ дайте в омах.

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон ${\displaystyle p{V}^k=\mathrm{6,4}\cdot {10}^6\text{Па}\cdot {\text{м}}^5\text{},}$ где ${\displaystyle p}$ — давление в газе в паскалях, ${\displaystyle V}$ — объём
газа (в м³), ${\displaystyle k=\frac{5}{3}}$. Найдите, какой объём V (в м³) будет занимать газ
при давлении ${\displaystyle p}$, равном ${\displaystyle 2\cdot {10}^5\text{Па}\text{.}}$

В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротивление которой составляет ${\displaystyle R_1=36}$Ом. Параллельно с ней в розетку предполагается подключить электрообогреватель, сопротивление которого ${\displaystyle R_2}$ (в Ом).
При параллельном соединении двух электроприборов с сопротивлениями ${\displaystyle R_1}$ и ${\displaystyle R_2}$ их общее сопротивление ${\displaystyle R}$ вычисляется по формуле ${\displaystyle R=\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}}$. Для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 20 Ом. Определите наименьшее возможное сопротивление электрообогревателя. Ответ дайте в омах.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса m (в мг) уменьшается
по закону $m=m_0\cdot 2^{-\frac{\tau }{T}}\text{},$ где $m_0$ $—$ начальная масса изотопа (в мг), $\tau$ $—$ время (в минутах), прошедшее от начального момента, $T$ $—$ период полураспада
(в минутах). В начальный момент времени масса изотопа равна 196 мг. Период его полураспада составляет 4 минуты. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 49 мг.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a=4500\text{км}/\text{}{\text{ч}}^2\text{}.$ Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la},$ где $l$ $—$ пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 90 км/ч.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью ${\displaystyle v_0=60\text{км/ч}}$, выезжает
из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением ${\displaystyle a=18{\text{км/ч}}^2}$. Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется
по формуле ${\displaystyle S=v_{0}t+\frac{a{t}^2}{2}}$, где ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle —}$ время в часах, прошедшее после выезда
из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста
из города, если известно, что за это время он удалился от города на 21 км. Ответ дайте в минутах.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью ${\displaystyle v_0=70\text{км/ч}\text{,}}$ выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением ${\displaystyle a=16{\text{км/ч}}^2\text{}.}$ Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле ${\displaystyle S=v_{0}t+\frac{a{t}^2}{2},}$ где ${\displaystyle t}$ — время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 123 км. Ответ дайте в минутах.