Стереометрия · 60 заданий ФИПИ с ответами
| В прямоугольном параллелепипеде известно, что , , . Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки , , , . |
|
Многогранник ABCB₁ — пирамида с основанием ABC и вершиной B₁.
Треугольник ABC прямоугольный: S = AB · BC / 2 = 6 · 5 / 2 = 15.
Ребро BB₁ перпендикулярно плоскости основания, поэтому высота пирамиды BB₁ = AA₁ = 4.
Объём пирамиды: V = S · BB₁ / 3 = 15 · 4 / 3 = 20.
Ответ: 20.
| Цилиндр, объём которого равен 18, описан около шара. Найдите объём шара. |
|
Пусть радиус шара равен r. У описанного около него цилиндра радиус основания равен r, а высота равна 2r.
Объём цилиндра V = πr² · 2r = 2πr³ = 18, откуда πr³ = 9.
Объём шара равен 4πr³ / 3 = 4 · 9 / 3 = 12.
Ответ: 12.
| Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины , , , правильной треугольной призмы , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 9. |
|
Многогранник ABCC₁ — пирамида с основанием ABC и вершиной C₁.
Правильная призма является прямой, поэтому CC₁ перпендикулярно плоскости ABC. Высота пирамиды равна 9.
Объём пирамиды: V = S · h / 3 = 6 · 9 / 3 = 18.
Ответ: 18.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
| Цилиндр и конус имеют общие основание |
|
Объём цилиндра равен Sh, а объём конуса — Sh/3, где S — площадь основания, h — высота.
При общих основании и высоте объём цилиндра втрое больше объёма конуса.
V = 3 · 9 = 27.
Ответ: 27.
| Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания и высота цилиндра равны 2. Найдите объём параллелепипеда. |
|
Основание вписанного цилиндра — круг, вписанный в прямоугольник основания параллелепипеда. Поэтому обе стороны прямоугольника равны диаметру круга.
Длина и ширина параллелепипеда равны 2r = 2 · 2 = 4, а высота равна высоте цилиндра: h = 2.
Объём прямоугольного параллелепипеда: V = abh = 4 · 4 · 2 = 32.
Ответ: 32.
| Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 18. Найдите объём конуса. |
|
Объём конуса равен Sh/3, а объём цилиндра — Sh, где S — площадь основания, h — высота.
При общих основании и высоте объём конуса составляет треть объёма цилиндра.
V = 18/3 = 6.
Ответ: 6.
| Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна Найдите радиус сферы. |
|
Обозначим центр основания конуса через O, вершину — через S, точку окружности основания — через A, радиус сферы — через R.
Точки S и A лежат на сфере с центром O, поэтому OS = OA = R.
Высота OS перпендикулярна основанию, значит, треугольник SOA прямоугольный, а SA — образующая конуса.
По теореме Пифагора: R² + R² = (9√2)² = 162.
R² = 81, откуда R = 9.
Ответ: 9.
| Цилиндр и конус имеют общие основание |
|
Объём цилиндра равен Sh, а объём конуса — Sh/3, где S — площадь основания, h — высота.
При общих основании и высоте объём цилиндра втрое больше объёма конуса.
V = 3 · 6 = 18.
Ответ: 18.
| Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен Найдите длину образующей конуса. |
|
Обозначим центр основания через O, вершину конуса через S, точку окружности основания через A.
Так как O — центр сферы, OA = OS = 84√2.
Высота SO перпендикулярна основанию, поэтому треугольник SOA прямоугольный.
По теореме Пифагора образующая SA = √(OS² + OA²) = 84√2 · √2 = 168.
Ответ: 168.
| Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины правильной треугольной призмы площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 8. |
|
Многогранник ABCB₁ — пирамида с основанием ABC и вершиной B₁.
В правильной призме боковое ребро перпендикулярно основанию, поэтому высота пирамиды B₁B = 8.
Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту: V = S · h/3.
Следовательно, V = 3 · 8/3 = 8.
Ответ: 8.
| Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. |
|
Пусть радиус общего основания равен r. По условию общая высота h = r.
По теореме Пифагора образующая конуса l = √(r² + h²) = r√2.
Площадь боковой поверхности конуса πrl = πr²√2 = 3√2, откуда πr² = 3.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2πrh = 2πr² = 6.
Ответ: 6.
| В прямоугольном параллелепипеде известно, что Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки |
|
Многогранник ABCB₁ — пирамида с основанием ABC и вершиной B₁.
Треугольник ABC прямоугольный, поэтому его площадь S = AB · BC/2 = 9 · 6/2 = 27.
Ребро BB₁ перпендикулярно плоскости основания, поэтому высота пирамиды BB₁ = AA₁ = 5.
По формуле объёма пирамиды V = S · h/3 = 27 · 5/3 = 45.
Ответ: 45.
| Во сколько раз уменьшится объём конуса, если его высота уменьшится в 9 раз, |
|
Объём конуса вычисляется по формуле V = πr²h/3.
При неизменном радиусе объём прямо пропорционален высоте.
После уменьшения высоты в 9 раз новый объём V₁ = πr²(h/9)/3 = V/9.
Значит, объём уменьшится в 9 раз.
Ответ: 9.
| Дана правильная треугольная призма , площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки , , , , . |
|
Искомый многогранник получается из призмы удалением тетраэдра B₁ABC.
Правильная призма — прямая, поэтому её высота равна боковому ребру: h = 6. Объём призмы: V = Sосн · h = 8 · 6 = 48.
Основание удаляемого тетраэдра — треугольник ABC площадью 8, а его высота B₁B равна 6.
По формуле объёма пирамиды Vтетр = Sосн · h / 3 = 8 · 6 / 3 = 16.
Объём искомого многогранника: 48 − 16 = 32.
Ответ: 32.
| Объём куба равен 144. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой |
|
Пусть ребро куба равно a. Тогда a³ = 144.
Основание отсечённой призмы — прямоугольный треугольник с катетами a/2 и a/2.
Его площадь S = (1/2) · (a/2) · (a/2) = a²/8, а высота призмы равна a.
По формуле объёма призмы V = Sa = a³/8 = 144/8 = 18.
Ответ: 18.
| Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 15. У второго цилиндра высота в 3 раза меньше, |
|
Объём цилиндра вычисляется по формуле V = πr²h.
У второго цилиндра радиус равен 2r, а высота — h/3.
Поэтому V₂ = π · (2r)² · h/3 = (4/3)πr²h = (4/3)V₁.
V₂ = 15 · 4/3 = 20.
Ответ: 20.
| Объём куба равен 80. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины. |
|
Пусть ребро куба равно a. Тогда a³ = 80.
Основание отсечённой призмы — прямоугольный треугольник с катетами a/2 и a/2.
Его площадь S = (1/2) · (a/2) · (a/2) = a²/8. Высота призмы равна a.
Объём призмы V = Sa = a³/8 = 80/8 = 10.
Ответ: 10.
| Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через центр шара, равна 12. Найдите площадь поверхности шара. |
|
Сечение шара плоскостью через его центр — круг радиуса R, равного радиусу шара.
Площадь этого круга равна πR² = 12.
Площадь поверхности шара S = 4πR² = 4 · 12 = 48.
Ответ: 48.
| Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна . Найдите площадь боковой поверхности конуса. |
|
Пусть r — радиус общего основания, h — высота. По условию h = r.
Площадь боковой поверхности цилиндра: 2πrh = 2πr² = 3√2.
По теореме Пифагора образующая конуса l = √(r² + h²) = r√2.
Площадь боковой поверхности конуса: πrl = πr²√2 = (3√2/2) · √2 = 3.
Ответ: 3.
| Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 18. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы. |
|
Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине. Поэтому стороны основания отсечённой треугольной призмы вдвое меньше соответствующих сторон исходного основания.
Секущая плоскость параллельна боковым рёбрам, поэтому боковые рёбра отсечённой призмы равны исходным.
Каждая боковая грань — параллелограмм. Его площадь равна произведению двух соседних сторон на синус угла между ними.
У каждой соответствующей грани одна сторона уменьшилась вдвое, другая и угол сохранились. Значит, площадь боковой поверхности также уменьшилась вдвое.
Площадь боковой поверхности исходной призмы: 2 · 18 = 36.
Ответ: 36.
