Задание 3 ЕГЭ по профильной математике

Многогранник ABCB₁ — пирамида с основанием ABC и вершиной B₁.

Треугольник ABC прямоугольный, поэтому площадь основания S = AB · BC/2 = 9 · 7/2 = 63/2.

Ребро BB₁ перпендикулярно плоскости основания, поэтому высота пирамиды BB₁ = AA₁ = 6.

Объём пирамиды V = S · BB₁/3 = (63/2) · 6/3 = 63.

Ответ: 63.

Обозначим центр основания через O, вершину конуса через S, точку окружности основания через A, радиус сферы через R.

Поскольку O — центр сферы, OS = OA = R. При этом OS перпендикулярна OA.

По теореме Пифагора SA² = OS² + OA² = 2R², значит SA = R√2.

Следовательно, R = 18√2/√2 = 18.

Ответ: 18.

Пусть радиус шара равен R. У описанного цилиндра радиус основания равен R, а высота равна 2R.

Объём шара V = 4πR³/3 = 24.

Объём цилиндра равен πR² · 2R = 2πR³, то есть составляет 3/2 объёма шара.

Следовательно, объём цилиндра равен 24 · 3/2 = 36.

Ответ: 36.

Средняя линия отсекает треугольник, подобный основанию призмы с коэффициентом 1/2.

Каждая боковая грань отсечённой призмы имеет то же боковое ребро, а соответствующая сторона основания уменьшена вдвое. Поэтому площадь каждой боковой грани уменьшена вдвое.

Следовательно, площадь боковой поверхности исходной призмы равна 36 · 2 = 72.

Ответ: 72.

Средняя линия отсекает треугольник, подобный основанию с коэффициентом 1/2. Его площадь составляет (1/2)² = 1/4 площади исходного основания.

Высоты исходной и отсечённой призм равны, поскольку их основания лежат в одних и тех же параллельных плоскостях.

По формуле V = S · h объём отсечённой призмы равен 52 · 1/4 = 13.

Ответ: 13.

Объём цилиндра вычисляется по формуле V = πr²h.

При увеличении радиуса в 2 раза площадь основания увеличивается в 4 раза, а высота уменьшается в 3 раза.

Поэтому объём второго цилиндра равен 18 · 4/3 = 24.

Ответ: 24.

Многогранник ABCDA₁ — пирамида с прямоугольным основанием ABCD и вершиной A₁.

Площадь основания: S = AB · AD = 3 · 9 = 27.

Ребро AA₁ перпендикулярно плоскости основания прямоугольного параллелепипеда, поэтому высота пирамиды равна 4.

Объём пирамиды: V = S · h/3 = 27 · 4/3 = 36.

Ответ: 36.

Средняя линия отсекает треугольник, подобный основанию с коэффициентом 1/2. Отношение площадей оснований равно (1/2)² = 1/4.

Высоты исходной и отсечённой призм равны, поскольку их основания лежат в одних и тех же параллельных плоскостях.

По формуле V = S · h объём отсечённой призмы равен 24 · 1/4 = 6.

Ответ: 6.

Средняя линия отсекает от основания треугольник, подобный исходному с коэффициентом 1/2.

Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия: S₁/S = (1/2)² = 1/4.

Поскольку секущая плоскость параллельна боковому ребру, высоты исходной и отсечённой призм равны.

По формуле V = Sh получаем V₁ = V/4 = 48/4 = 12.

Ответ: 12.

Пусть R — радиус шара. У описанного около него цилиндра радиус основания равен R, а высота равна 2R.

Объём шара: Vшара = 4πR³/3.

Объём цилиндра: Vцилиндра = πR² · 2R = 2πR³.

Следовательно, Vцилиндра = (3/2)Vшара = (3/2) · 18 = 27.

Ответ: 27.

Средняя линия основания отсекает треугольник, подобный всему основанию с коэффициентом 1/2.

Поэтому площадь основания отсечённой призмы составляет (1/2)² = 1/4 площади исходного основания.

Высоты призм равны, так как секущая плоскость параллельна боковому ребру.

По формуле V = Sh объём отсечённой призмы равен 84 · 1/4 = 21.

Ответ: 21.

Многогранник ABCDA₁B₁ — треугольная призма с основаниями ADA₁ и BCB₁.

Треугольник ADA₁ прямоугольный: AD = BC = 5, AA₁ = 4.

Площадь его основания: S = AD · AA₁/2 = 5 · 4/2 = 10.

Ребро AB перпендикулярно плоскости ADA₁, поэтому высота призмы равна AB = 6.

Объём призмы: V = Sh = 10 · 6 = 60.

Ответ: 60.

Пусть R — радиус шара. Радиус основания вписанного конуса также равен R.

Основание является большим кругом шара, поэтому его плоскость проходит через центр шара. Высота конуса равна R.

Объём конуса: Vконуса = πR² · R/3 = πR³/3.

Объём шара: Vшара = 4πR³/3, поэтому Vконуса = Vшара/4 = 60/4 = 15.

Ответ: 15.

Средняя линия треугольника отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом 1/2.

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: Sмал/S = (1/2)² = 1/4.

Высоты отсечённой и исходной призм равны, поэтому их объёмы относятся как площади оснований.

Следовательно, V = 4 · 15 = 60.

Ответ: 60.

Объём цилиндра вычисляется по формуле Vц = Sh, где S — площадь основания, h — высота.

Объём конуса равен Vк = Sh/3.

Основание и высота общие, поэтому Vц = 3Vк = 3 · 12 = 36.

Ответ: 36.

Средняя линия отсекает от основания треугольник, подобный исходному с коэффициентом 1/2.

Его площадь составляет (1/2)² = 1/4 площади исходного основания.

У обеих призм одинаковые высоты, поэтому объём отсечённой призмы составляет 1/4 исходного объёма.

Следовательно, V = 4 · 7 = 28.

Ответ: 28.

Стороны основания отсечённой треугольной призмы вдвое меньше соответствующих сторон исходного основания и параллельны им.

Каждая боковая грань — параллелограмм. Его площадь равна произведению стороны основания на высоту, проведённую к этой стороне в плоскости грани.

Соответствующие высоты боковых граней сохраняются, поэтому площадь каждой боковой грани уменьшается вдвое.

Следовательно, Sбок = 48/2 = 24.

Ответ: 24.

Пусть радиус шара равен r. У описанного цилиндра радиус основания равен r, а высота равна 2r.

Полная поверхность цилиндра: Sц = 2πr² + 2πr · 2r = 6πr².

Площадь поверхности шара: Sш = 4πr² = (2/3)Sц.

Следовательно, Sш = (2/3) · 21 = 14.

Ответ: 14.

Многогранник ABCA₁B₁C₁ — прямая треугольная призма с основанием ABC и высотой AA₁.

Треугольник ABC прямоугольный, поэтому S = AB · BC / 2 = 8 · 7 / 2 = 28.

Объём призмы: V = S · AA₁ = 28 · 6 = 168.

Ответ: 168.

Многогранник ABCA₁B₁C₁ — прямая треугольная призма. Её высота равна AA₁ = 5.

Поскольку AB ⊥ BC, площадь основания ABC равна S = AB · BC / 2 = 7 · 6 / 2 = 21.

По формуле объёма призмы V = S · AA₁ = 21 · 5 = 105.

Ответ: 105.