Задание 11 ЕГЭ по профильной математике

Пусть x км/ч — скорость баржи из A в B, x > 0. Время движения вычисляется по формуле t = S/v.
Обратный путь с остановкой занял столько же времени: 264/x = 264/(x + 2) + 1.
264(x + 2) − 264x = x(x + 2), откуда x² + 2x − 528 = 0.
(x − 22)(x + 24) = 0; x = 22 или x = −24.
Положительный корень равен 22. Ответ: 22.

Пусть x км/ч — скорость первого велосипедиста, тогда скорость второго равна x − 2 км/ч, x > 2. Используем формулу времени t = S/v.
Второй велосипедист затратил на 1 час больше: 112/(x − 2) − 112/x = 1.
112x − 112(x − 2) = x(x − 2), откуда x² − 2x − 224 = 0.
(x − 16)(x + 14) = 0; x = 16 или x = −14.
Условию x > 2 удовлетворяет только x = 16. Ответ: 16.

Пусть x км/ч — скорость лодки в неподвижной воде, x > 2. Против течения скорость равна x − 2, по течению — x + 2.
Используем формулу t = S/v. Путь против течения занял на 4 часа больше: 117/(x − 2) − 117/(x + 2) = 4.
117(x + 2) − 117(x − 2) = 4(x² − 4).
468 = 4(x² − 4), откуда x² = 121; x = 11 или x = −11.
Условию x > 2 удовлетворяет только x = 11. Ответ: 11.

Пусть v км/ч — скорость лодки в неподвижной воде, v > 1. Время равно расстоянию, делённому на скорость.

Против течения скорость равна v − 1, по течению — v + 1. Поэтому 255/(v − 1) − 255/(v + 1) = 2.

Умножая на (v − 1)(v + 1), получаем: 510 = 2(v² − 1), откуда v² = 256.

Из корней v = ±16 условию v > 1 удовлетворяет только v = 16.

Ответ: 16.

При встречном движении скорости складываются: 85 + 35 = 120 км/ч = 100/3 м/с.

За время полного прохождения поездов мимо друг друга относительное перемещение равно сумме их длин.

За 30 секунд оно составляет (100/3) · 30 = 1000 м.

Длина скорого поезда: 1000 − 250 = 750 м.

Ответ: 750.

Примем объём работы за 1. Производительность равна объёму работы, делённому на время.

Вместе Катя и Настя выполняют 1/24 грядки в минуту, а Настя — 1/42.

Производительность Кати: 1/24 − 1/42 = (7 − 4)/168 = 1/56 грядки в минуту.

Значит, Катя одна пропалывает грядку за 1 : (1/56) = 56 минут.

Ответ: 56.

Примем объём работы за 1. При совместной работе производительности складываются.

Производительность Юли и Ули вместе равна 1/24 грядки в минуту, а одной Ули — 1/120.

Производительность Юли: 1/24 − 1/120 = (5 − 1)/120 = 1/30 грядки в минуту.

На всю грядку Юле потребуется 1 : (1/30) = 30 минут.

Ответ: 30.

Пусть x и y — доли кислоты в первом и втором растворах. При смешивании масса кислоты сохраняется.

Для смеси всех растворов: 40x + 25y = 0,30 · (40 + 25) = 19,5.

При смешивании равных масс доля кислоты равна (x + y)/2 = 0,36, поэтому y = 0,72 − x.

Подставим: 40x + 25(0,72 − x) = 19,5, откуда 15x = 1,5 и x = 0,1.

В первом сосуде содержится 0,1 · 100 = 10% кислоты.

Ответ: 10.

Пусть x км/ч — скорость течения, 0 ≤ x < 25. По формуле t = S/v время движения равно 51 − 1 = 50 часов.

Скорость по течению равна 25 + x, против течения — 25 − x. Тогда 609/(25 + x) + 609/(25 − x) = 50.

Умножая на 625 − x² > 0, получаем: 609 · 50 = 50(625 − x²).

x² = 625 − 609 = 16. С учётом x ≥ 0 получаем x = 4.

Ответ: 4.

Примем весь заказ за единицу. Производительность равна объёму работы, делённому на время.

Первый мастер выполняет за час 1/36 заказа, второй — 1/12 заказа.

При совместной работе производительности складываются: 1/36 + 1/12 = 4/36 = 1/9 заказа в час.

Время выполнения заказа: 1 : (1/9) = 9 часов.

Ответ: 9.

Пусть x > 0 км/ч — скорость второго велосипедиста. Тогда скорость первого равна x + 6 км/ч. Используем формулу t = S/v.

Второй затратил на 6 часов больше: 160/x − 160/(x + 6) = 6.

Умножая на x(x + 6) > 0, получаем: 960 = 6x(x + 6), откуда x² + 6x − 160 = 0.

(x − 10)(x + 16) = 0. Корень −16 не подходит, поскольку скорость положительна; x = 10.

Ответ: 10.

Пусть x > 0 — число деталей, которые второй рабочий изготавливает за час. Производительность первого равна x + 4. Время равно объёму работы, делённому на производительность.

Первый выполняет заказ на 4 часа быстрее: 192/x − 192/(x + 4) = 4.

Умножая на x(x + 4) > 0, получаем: 768 = 4x(x + 4), откуда x² + 4x − 192 = 0.

(x − 12)(x + 16) = 0. Отрицательный корень не подходит; x = 12 деталей в час.

Ответ: 12.

Пусть x > 0 км/ч — скорость второго велосипедиста. Тогда скорость первого равна x + 4 км/ч. Используем формулу t = S/v.

Второй затратил на 4 часа больше: 140/x − 140/(x + 4) = 4.

Умножая на x(x + 4) > 0, получаем: 560 = 4x(x + 4), откуда x² + 4x − 140 = 0.

(x − 10)(x + 14) = 0. При x > 0 подходит только x = 10.

Первым прибыл более быстрый велосипедист. Его скорость равна 10 + 4 = 14 км/ч.

Ответ: 14.

Пусть x км/ч — собственная скорость катера, x > 3. Используем формулу t = S/v.
В движении катер находился 16 − 10 − 3 = 3 часа; скорости по течению и против течения равны x + 3 и x − 3.
Составим уравнение: 40/(x + 3) + 40/(x − 3) = 3.
80x = 3(x² − 9), откуда 3x² − 80x − 27 = 0.
(x − 27)(3x + 1) = 0. Корень x = −1/3 не удовлетворяет условию x > 3, поэтому x = 27.
Ответ: 27.

Пусть x км/ч — скорость второго велосипедиста, x > 0. Тогда скорость первого равна x + 4 км/ч.
По формуле t = S/v время второго равно 70/x часов, первого — 70/(x + 4) часов.
Первый прибыл на 2 часа раньше: 70/x − 70/(x + 4) = 2.
280 = 2x(x + 4), откуда x² + 4x − 140 = 0.
(x − 10)(x + 14) = 0. Из корней 10 и −14 условию x > 0 удовлетворяет только 10.
Ответ: 10.

Пусть x км/ч — скорость лодки в неподвижной воде, x > 3. Скорости против течения и по течению равны x − 3 и x + 3.
Используем формулу t = S/v. Обратный путь занял на 6 часов меньше: 91/(x − 3) − 91/(x + 3) = 6.
546 = 6(x² − 9), откуда x² − 9 = 91.
x² = 100, поэтому x = 10 или x = −10.
Условию x > 3 удовлетворяет только x = 10.
Ответ: 10.

Пусть второй рабочий изготавливает x деталей в час, x > 0. Тогда первый изготавливает x + 2 детали в час.
Время работы равно объёму заказа, делённому на производительность: 112/x и 112/(x + 2) часов.
Первый выполняет заказ на час быстрее: 112/x − 112/(x + 2) = 1.
224 = x(x + 2), откуда x² + 2x − 224 = 0.
(x − 14)(x + 16) = 0. Отрицательный корень не подходит, поэтому x = 14.
Ответ: 14.

Пусть x км/ч — скорость первого теплохода, x > 0. Тогда скорость второго равна x + 4 км/ч.
По формуле t = S/v время в пути равно 285/x и 285/(x + 4) часов соответственно.
Второй вышел на 4 часа позже, а прибыл одновременно с первым: 285/x − 285/(x + 4) = 4.
1140 = 4x(x + 4), откуда x² + 4x − 285 = 0.
(x − 15)(x + 19) = 0. Условию x > 0 удовлетворяет только x = 15.
Ответ: 15.

При совместной работе производительности насосов складываются; объём бака примем за 1.

Третий насос наполняет бак за 1 час 50 минут = 110 минут.

За минуту три насоса наполняют 1/11 + 1/15 + 1/110 = (30 + 22 + 3)/330 = 1/6 бака.

Время заполнения: 1 : (1/6) = 6 минут.

Ответ: 6.

Время движения равно расстоянию, делённому на скорость. Пусть v > 3 км/ч — собственная скорость катера.

С 10:00 до 18:00 прошло 8 часов; за вычетом стоянки катер двигался 8 − 4 = 4 часа.

Скорость по течению равна v + 3, против течения — v − 3, поэтому 35/(v + 3) + 35/(v − 3) = 4.

Умножая на (v + 3)(v − 3), получаем 70v = 4(v² − 9), откуда 2v² − 35v − 18 = 0.

D = 35² + 4 · 2 · 18 = 1369 = 37²; v = (35 ± 37)/4. Корни: 18 и −0,5.

Условию v > 3 удовлетворяет только 18.

Ответ: 18.