Задание 14 ЕГЭ по профильной математике

а) Уравнение определено при всех действительных x.

Применим формулы sin(−x) = −sin x и cos²x = 1 − sin²x:

2(1 − sin²x) − 3sin x − 3 = 0.

После приведения подобных слагаемых получаем равносильное уравнение 2sin²x + 3sin x + 1 = 0.

Разложим на множители: (2sin x + 1)(sin x + 1) = 0.

Следовательно, sin x = −1 или sin x = −1/2.

Ответ: −π/2 + 2πk, k ∈ Z; −π/6 + 2πk, k ∈ Z; −5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

б) Для каждой серии решим двойное неравенство 2π ≤ x ≤ 7π/2.

Если x = −π/2 + 2πk, то 2π ≤ −π/2 + 2πk ≤ 7π/2, откуда 5/4 ≤ k ≤ 2. Единственное целое значение k = 2 даёт x = 7π/2.

Если x = −π/6 + 2πk, то 2π ≤ −π/6 + 2πk ≤ 7π/2, откуда 13/12 ≤ k ≤ 11/6. Целых значений k нет.

Если x = −5π/6 + 2πk, то 2π ≤ −5π/6 + 2πk ≤ 7π/2, откуда 17/12 ≤ k ≤ 13/6. Единственное целое значение k = 2 даёт x = 19π/6.

Ответ: 19π/6; 7π/2.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

Применим формулы sin 2x = 2sin x cos x и sin(x + π) = −sin x:

2sin x cos x − √2 sin x = 0.

Вынесем общий множитель: sin x(2cos x − √2) = 0.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда sin x = 0 или cos x = √2/2.

Первое уравнение даёт x = πk, второе — x = ±π/4 + 2πk, где k ∈ Z.

Ответ: πk, k ∈ Z; ±π/4 + 2πk, k ∈ Z.

б) Для каждой серии решим двойное неравенство −4π ≤ x ≤ −5π/2.

Если x = πk, то −4 ≤ k ≤ −5/2. Целые значения k = −4 и k = −3 дают x = −4π и x = −3π.

Если x = π/4 + 2πk, то −4π ≤ π/4 + 2πk ≤ −5π/2, откуда −17/8 ≤ k ≤ −11/8. Единственное целое значение k = −2 даёт x = −15π/4.

Если x = −π/4 + 2πk, то −4π ≤ −π/4 + 2πk ≤ −5π/2, откуда −15/8 ≤ k ≤ −9/8. Целых значений k нет.

Ответ: −4π; −15π/4; −3π.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

Так как 49 = 7² и 1/7 = 7⁻¹, получаем: 7^(2sin x) = 7^(√2 sin 2x).

Показательная функция с основанием 7 строго возрастает, поэтому равенство равносильно уравнению 2sin x = √2 sin 2x.

По формуле sin 2x = 2sin x cos x получаем 2sin x(1 − √2 cos x) = 0.

Следовательно, sin x = 0 или cos x = 1/√2 = √2/2.

Ответ а): x = πk, k ∈ Z; x = ±π/4 + 2πk, k ∈ Z.

б) Отберём корни по условию 2π ≤ x ≤ 7π/2.

Для x = πk: 2 ≤ k ≤ 7/2. Целые значения k: 2 и 3; получаем 2π и 3π.

Для x = π/4 + 2πk: 2π ≤ π/4 + 2πk ≤ 7π/2, откуда 7/8 ≤ k ≤ 13/8. Поэтому k = 1 и x = 9π/4.

Для x = −π/4 + 2πk: 2π ≤ −π/4 + 2πk ≤ 7π/2, откуда 9/8 ≤ k ≤ 15/8. Целых значений k нет.

Ответ б): 2π; 9π/4; 3π.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

Положим t = 9^(sin x), t > 0. Тогда 81^(sin x) = t², и уравнение принимает вид 27t² − 12t + 1 = 0.

Разложим на множители: (9t − 1)(3t − 1) = 0. Отсюда t = 1/9 или t = 1/3; оба значения положительны.

Так как показательная функция с основанием 9 строго возрастает, из 9^(sin x) = 1/9 = 9⁻¹ следует sin x = −1, а из 9^(sin x) = 1/3 = 9^(−1/2) следует sin x = −1/2.

Первое уравнение даёт x = −π/2 + 2πk. Второе даёт x = −π/6 + 2πk или x = −5π/6 + 2πk, где k ∈ Z.

Ответ а): −π/2 + 2πk, k ∈ Z; −π/6 + 2πk, k ∈ Z; −5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

б) Отберём корни по условию 3π/2 ≤ x ≤ 3π.

Для x = −π/2 + 2πk: 3π/2 ≤ −π/2 + 2πk ≤ 3π, откуда 1 ≤ k ≤ 7/4. Поэтому k = 1 и x = 3π/2.

Для x = −π/6 + 2πk: 3π/2 ≤ −π/6 + 2πk ≤ 3π, откуда 5/6 ≤ k ≤ 19/12. Поэтому k = 1 и x = 11π/6.

Для x = −5π/6 + 2πk: 3π/2 ≤ −5π/6 + 2πk ≤ 3π, откуда 7/6 ≤ k ≤ 23/12. Целых значений k нет.

Ответ б): 3π/2; 11π/6.

а) Обе части уравнения определены при всех действительных x.

По формулам приведения sin(x + π) = −sin x, sin(π/2 − x) = cos x. Кроме того, 1/49 = 7⁻².

Поэтому исходное уравнение равносильно уравнению 7^(2sin x) = 7^(2√3 cos x).

Показательная функция с основанием 7 строго возрастает, поэтому равенство степеней равносильно равенству показателей: 2sin x = 2√3 cos x, то есть sin x = √3 cos x.

При cos x = 0 имеем sin x = ±1, поэтому такие значения корнями не являются. Делим на cos x: tg x = √3.

Ответ а): x = π/3 + πk, k ∈ Z.

б) Отберём корни с помощью двойного неравенства: 3π ≤ π/3 + πk ≤ 9π/2.

Разделив на π и вычтя 1/3, получаем 8/3 ≤ k ≤ 25/6.

Целые значения в этих границах: k = 3 и k = 4. Им соответствуют x = 10π/3 и x = 13π/3.

Ответ б): 10π/3; 13π/3.

а) Обе части уравнения определены при всех действительных x.

Так как 16^(sin x) = (4^(sin x))², введём замену t = 4^(sin x), t > 0.

Получаем t² − 6t + 8 = 0, то есть (t − 2)(t − 4) = 0. Следовательно, t = 2 или t = 4; оба значения положительны.

Возвращаясь к x, получаем 4^(sin x) = 2 = 4^(1/2) или 4^(sin x) = 4¹. Из строгого возрастания показательной функции следует: sin x = 1/2 или sin x = 1.

Уравнение sin x = 1/2 даёт x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk. Уравнение sin x = 1 даёт x = π/2 + 2πk, где k ∈ Z.

Ответ а): π/2 + 2πk, k ∈ Z; π/6 + 2πk, k ∈ Z; 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

б) Для x = π/2 + 2πk условие −5π ≤ x ≤ −7π/2 равносильно −11/4 ≤ k ≤ −2. Единственное целое значение k = −2 даёт x = −7π/2.

Для x = π/6 + 2πk получаем −5π ≤ π/6 + 2πk ≤ −7π/2, откуда −31/12 ≤ k ≤ −11/6. Единственное целое значение k = −2 даёт x = −23π/6.

Для x = 5π/6 + 2πk получаем −5π ≤ 5π/6 + 2πk ≤ −7π/2, откуда −35/12 ≤ k ≤ −13/6. В этих границах целых значений k нет.

Ответ б): −23π/6; −7π/2.

а) Решение уравнения.
Уравнение определено при всех действительных x.
По формуле косинуса разности cos(x − π/4) = (√2/2)(cos x + sin x).
По формуле приведения sin(π/2 + x) = cos x.
Подставляя эти выражения, получаем равносильное уравнение:
√2(cos x + sin x) − 2√2 cos x = 0.
После приведения подобных слагаемых и деления на √2 получаем sin x − cos x = 0.
Так как sin x − cos x = √2 sin(x − π/4), имеем sin(x − π/4) = 0.
Синус равен нулю тогда и только тогда, когда его аргумент равен πk, k ∈ Z.
Ответ: x = π/4 + πk, k ∈ Z.

б) Отбор корней.
Подставим найденные корни в условие принадлежности отрезку:
−17π/2 ≤ π/4 + πk ≤ −7π.
Делим все части неравенства на положительное число π и вычитаем 1/4:
−35/4 ≤ k ≤ −29/4.
Единственное целое число в этих границах — k = −8.
Тогда x = π/4 − 8π = −31π/4.
Ответ: −31π/4.

а) Решение уравнения.
Уравнение определено при всех действительных x.
По формуле синуса разности sin(x − π/4) = (√2/2)(sin x − cos x).
По формуле приведения cos(π/2 + x) = −sin x.
Подставляя эти выражения, получаем равносильное уравнение:
√2(sin x − cos x) − 2√2 sin x = 0.
После приведения подобных слагаемых и деления на −√2 получаем sin x + cos x = 0.
Так как sin x + cos x = √2 sin(x + π/4), имеем sin(x + π/4) = 0.
Синус равен нулю тогда и только тогда, когда его аргумент равен πk, k ∈ Z.
Ответ: x = −π/4 + πk, k ∈ Z.

б) Отбор корней.
Подставим найденные корни в условие принадлежности отрезку:
−4π ≤ −π/4 + πk ≤ −5π/2.
Делим все части неравенства на положительное число π и прибавляем 1/4:
−15/4 ≤ k ≤ −9/4.
Единственное целое число в этих границах — k = −3.
Тогда x = −π/4 − 3π = −13π/4.
Ответ: −13π/4.

а) Решим уравнение 8·16^(sin²x) − 2·4^(cos 2x) = 63.

Все степени определены при любом x. Используем формулу cos 2x = 1 − 2sin²x:

4^(cos 2x) = 4^(1 − 2sin²x) = 4/16^(sin²x).

Пусть t = 16^(sin²x), t > 0. Тогда исходное уравнение равносильно уравнению 8t − 8/t = 63.

Умножая на t ≠ 0, получаем 8t² − 63t − 8 = 0.

D = 63² + 4·8·8 = 4225 = 65²; t = (63 ± 65)/16.

Отсюда t = 8 или t = −1/8. Второй корень не удовлетворяет условию t > 0.

16^(sin²x) = 8, поэтому 2^(4sin²x) = 2³, sin²x = 3/4.

Следовательно, sin x = ±√3/2, откуда x = ±π/3 + πk, k ∈ Z.

Ответ а): ±π/3 + πk, k ∈ Z.

б) Отберём корни из отрезка [7π/2; 5π] с помощью двойных неравенств.

Для x = π/3 + πk: 7π/2 ≤ π/3 + πk ≤ 5π, то есть 19/6 ≤ k ≤ 14/3.

Единственное целое значение k = 4 даёт x = 13π/3.

Для x = −π/3 + πk: 7π/2 ≤ −π/3 + πk ≤ 5π, то есть 23/6 ≤ k ≤ 16/3.

Целые значения k = 4 и k = 5 дают соответственно x = 11π/3 и x = 14π/3.

Ответ б): 11π/3; 13π/3; 14π/3.

а) ОДЗ: sin x > 0 и 2cos x + √3 ≠ 0, то есть cos x ≠ −√3/2.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

На ОДЗ получаем (log₂(sin x))² + log₂(sin x) = 0.

Обозначим t = log₂(sin x). Тогда t² + t = t(t + 1) = 0, поэтому t = 0 или t = −1.

Если log₂(sin x) = 0, то sin x = 1, откуда x = π/2 + 2πk, k ∈ Z.

Для этих значений sin x = 1 > 0 и 2cos x + √3 = √3 ≠ 0, поэтому все они подходят.

Если log₂(sin x) = −1, то sin x = 1/2.

Отсюда x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

При x = π/6 + 2πk знаменатель равен 2√3 ≠ 0, поэтому эта серия подходит.

При x = 5π/6 + 2πk знаменатель равен −√3 + √3 = 0, поэтому вся эта серия исключается по ОДЗ.

Ответ а): π/6 + 2πk, k ∈ Z; π/2 + 2πk, k ∈ Z.

б) Отберём корни из отрезка [0; 3π/2].

Для первой серии: 0 ≤ π/6 + 2πk ≤ 3π/2, откуда −1/12 ≤ k ≤ 2/3.

Единственное целое значение k = 0 даёт x = π/6.

Для второй серии: 0 ≤ π/2 + 2πk ≤ 3π/2, откуда −1/4 ≤ k ≤ 1/2.

Единственное целое значение k = 0 даёт x = π/2.

Ответ б): π/6; π/2.

а) Решение уравнения.

Уравнение определено при всех действительных x.

По формуле синуса суммы 2sin(x + π/6) = √3 sin x + cos x. Поэтому исходное уравнение равносильно:

√3 sin x + cos x − 2√3 cos²x = cos x − 2√3.

Сократим cos x, разделим на √3 и перенесём все слагаемые в левую часть: sin x + 2(1 − cos²x) = 0.

Используя 1 − cos²x = sin²x, получаем sin x + 2sin²x = 0, то есть sin x(1 + 2sin x) = 0.

Следовательно, sin x = 0 или sin x = −1/2.

Ответ а): x = πk; x = −π/6 + 2πk; x = −5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

б) Отбор корней на отрезке [−5π/2; −π].

Для x = πk условие −5π/2 ≤ πk ≤ −π равносильно −5/2 ≤ k ≤ −1. Целые значения: k = −2 и k = −1; получаем −2π и −π.

Для x = −π/6 + 2πk условие −5π/2 ≤ −π/6 + 2πk ≤ −π равносильно −7/6 ≤ k ≤ −5/12. Единственное целое значение k = −1 даёт x = −13π/6.

Для x = −5π/6 + 2πk условие −5π/2 ≤ −5π/6 + 2πk ≤ −π равносильно −5/6 ≤ k ≤ −1/12. Целых значений k нет.

Ответ б): −13π/6; −2π; −π.

а) Решение уравнения.

Уравнение определено при всех действительных x.

Используем формулы sin(x + π) = −sin x и cos 2x = 1 − 2sin²x. Исходное уравнение равносильно:

1 − 2sin²x + √2 sin x − 1 = 0.

Разложим левую часть на множители: sin x(√2 − 2sin x) = 0.

Следовательно, sin x = 0 или sin x = √2/2.

Первое уравнение даёт x = πk, второе — x = π/4 + 2πk или x = 3π/4 + 2πk, k ∈ Z.

Ответ а): x = πk; x = π/4 + 2πk; x = 3π/4 + 2πk, k ∈ Z.

б) Отбор корней на отрезке [−7π/2; −2π].

Для x = πk условие −7π/2 ≤ πk ≤ −2π равносильно −7/2 ≤ k ≤ −2. Целые значения: k = −3 и k = −2; получаем −3π и −2π.

Для x = π/4 + 2πk условие −7π/2 ≤ π/4 + 2πk ≤ −2π равносильно −15/8 ≤ k ≤ −9/8. Целых значений k нет.

Для x = 3π/4 + 2πk условие −7π/2 ≤ 3π/4 + 2πk ≤ −2π равносильно −17/8 ≤ k ≤ −11/8. Единственное целое значение k = −2 даёт x = −13π/4.

Ответ б): −13π/4; −3π; −2π.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

Сгруппируем первое и третье слагаемые: sin x(cos 2x + 1) + √2 cos² x = 0.

По формуле cos 2x + 1 = 2cos² x получаем равносильное уравнение:

cos² x(2sin x + √2) = 0.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда cos x = 0 или sin x = −√2/2.

Из первого уравнения x = π/2 + πk, k ∈ Z.

Из второго уравнения x = −π/4 + 2πk или x = −3π/4 + 2πk, k ∈ Z.

Ответ а): π/2 + πk; −π/4 + 2πk; −3π/4 + 2πk, k ∈ Z.

б) Отберём корни на отрезке [3π/2; 3π] с помощью двойных неравенств.

Для первой серии: 3π/2 ≤ π/2 + πk ≤ 3π ⇔ 1 ≤ k ≤ 5/2. Целые значения k: 1 и 2; корни: 3π/2 и 5π/2.

Для второй серии: 3π/2 ≤ −π/4 + 2πk ≤ 3π ⇔ 7/8 ≤ k ≤ 13/8. Единственное целое значение k = 1; корень: 7π/4.

Для третьей серии: 3π/2 ≤ −3π/4 + 2πk ≤ 3π ⇔ 9/8 ≤ k ≤ 15/8. Целых значений k нет.

Ответ б): 3π/2; 7π/4; 5π/2.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

По формуле синуса суммы √2 sin(x + π/4) = sin x + cos x.

Подставим это выражение в уравнение и сократим одинаковые слагаемые sin x:

cos x + 2sin² x = 2.

Используя sin² x = 1 − cos² x, получаем равносильные уравнения:

cos x + 2 − 2cos² x = 2 ⇔ cos x(1 − 2cos x) = 0.

Следовательно, cos x = 0 или cos x = 1/2.

Отсюда x = π/2 + πk или x = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z.

Ответ а): π/2 + πk; ±π/3 + 2πk, k ∈ Z.

б) Отберём корни на отрезке [2π; 7π/2] с помощью двойных неравенств.

Для первой серии: 2π ≤ π/2 + πk ≤ 7π/2 ⇔ 3/2 ≤ k ≤ 3. Целые значения k: 2 и 3; корни: 5π/2 и 7π/2.

Для серии x = π/3 + 2πk: 2π ≤ π/3 + 2πk ≤ 7π/2 ⇔ 5/6 ≤ k ≤ 19/12. Единственное целое значение k = 1; корень: 7π/3.

Для серии x = −π/3 + 2πk: 2π ≤ −π/3 + 2πk ≤ 7π/2 ⇔ 7/6 ≤ k ≤ 23/12. Целых значений k нет.

Ответ б): 7π/3; 5π/2; 7π/2.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

Используем формулы 1 − cos 2x = 2sin²x и sin(x − π) = −sin x. Получаем равносильное уравнение:

2sin²x + √3 sin x = √3 + 2sin x.

Перенесём все слагаемые в левую часть и разложим на множители:

2sin²x + (√3 − 2)sin x − √3 = 0;
(sin x − 1)(2sin x + √3) = 0.

Следовательно, sin x = 1 или sin x = −√3/2.

Ответ а): x = π/2 + 2πk; x = −π/3 + 2πk; x = −2π/3 + 2πk, k ∈ Z.

б) Для каждой серии решим двойное неравенство −5π ≤ x ≤ −7π/2.

Для x = π/2 + 2πk:
−5π ≤ π/2 + 2πk ≤ −7π/2 ⇔ −11/4 ≤ k ≤ −2.
Единственное целое значение k = −2 даёт x = −7π/2.

Для x = −π/3 + 2πk:
−5π ≤ −π/3 + 2πk ≤ −7π/2 ⇔ −7/3 ≤ k ≤ −19/12.
Единственное целое значение k = −2 даёт x = −13π/3.

Для x = −2π/3 + 2πk:
−5π ≤ −2π/3 + 2πk ≤ −7π/2 ⇔ −13/6 ≤ k ≤ −17/12.
Единственное целое значение k = −2 даёт x = −14π/3.

Ответ б): −14π/3; −13π/3; −7π/2.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

По формулам cos(π − 2x) = −cos 2x и 1 + cos 2x = 2cos²x имеем 2 − 2cos(π − 2x) = 4cos²x.

Учитывая √8 = 2√2 и √12 = 2√3, получаем равносильное уравнение:

4cos²x + (2√2 − 2√3)cos x − √6 = 0.

Разложим левую часть на множители:
(2cos x − √3)(2cos x + √2) = 0.

Следовательно, cos x = √3/2 или cos x = −√2/2.

Ответ а): x = ±π/6 + 2πk; x = ±3π/4 + 2πk, k ∈ Z.

б) Для каждой серии решим двойное неравенство 3π ≤ x ≤ 9π/2.

Для x = π/6 + 2πk:
3π ≤ π/6 + 2πk ≤ 9π/2 ⇔ 17/12 ≤ k ≤ 13/6.
Единственное целое значение k = 2 даёт x = 25π/6.

Для x = −π/6 + 2πk:
3π ≤ −π/6 + 2πk ≤ 9π/2 ⇔ 19/12 ≤ k ≤ 7/3.
Единственное целое значение k = 2 даёт x = 23π/6.

Для x = 3π/4 + 2πk:
3π ≤ 3π/4 + 2πk ≤ 9π/2 ⇔ 9/8 ≤ k ≤ 15/8.
Целых значений k нет, поэтому эта серия корней на отрезке не даёт.

Для x = −3π/4 + 2πk:
3π ≤ −3π/4 + 2πk ≤ 9π/2 ⇔ 15/8 ≤ k ≤ 21/8.
Единственное целое значение k = 2 даёт x = 13π/4.

Ответ б): 13π/4; 23π/6; 25π/6.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

cos²x(2cos x + √3) + (2cos x + √3) = 0.

(cos²x + 1)(2cos x + √3) = 0.

Поскольку cos²x + 1 ≥ 1, уравнение равносильно равенству cos x = −√3/2.

Ответ: x = ±5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

б) Отберём корни с помощью двойных неравенств.

Для x = 5π/6 + 2πk получаем −2π ≤ 5π/6 + 2πk ≤ −π/2, откуда −17/12 ≤ k ≤ −2/3.

Единственное целое значение k = −1 даёт x = −7π/6.

Для x = −5π/6 + 2πk получаем −2π ≤ −5π/6 + 2πk ≤ −π/2, откуда −7/12 ≤ k ≤ 1/6.

Единственное целое значение k = 0 даёт x = −5π/6.

Ответ: −7π/6; −5π/6.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

Применим формулы 1 − cos 2x = 2sin²x и sin(x + π) = −sin x:

2sin²x + √2 sin x = √2 + 2sin x.

Перенесём все слагаемые в левую часть и разложим её на множители:

2sin²x + (√2 − 2)sin x − √2 = 0.

(sin x − 1)(2sin x + √2) = 0.

Следовательно, sin x = 1 или sin x = −√2/2.

Первое равенство даёт x = π/2 + 2πk; второе — x = −π/4 + 2πk или x = −3π/4 + 2πk, k ∈ Z.

Ответ: π/2 + 2πk; −π/4 + 2πk; −3π/4 + 2πk, k ∈ Z.

б) Для каждой серии решим условие −3π ≤ x ≤ −3π/2.

Если x = π/2 + 2πk, то −3π ≤ π/2 + 2πk ≤ −3π/2, откуда −7/4 ≤ k ≤ −1.

Единственное целое значение k = −1 даёт x = −3π/2.

Если x = −π/4 + 2πk, то −3π ≤ −π/4 + 2πk ≤ −3π/2, откуда −11/8 ≤ k ≤ −5/8.

Единственное целое значение k = −1 даёт x = −9π/4.

Если x = −3π/4 + 2πk, то −3π ≤ −3π/4 + 2πk ≤ −3π/2, откуда −9/8 ≤ k ≤ −3/8.

Единственное целое значение k = −1 даёт x = −11π/4.

Ответ: −11π/4; −9π/4; −3π/2.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

По формулам sin(π/2 + x) = cos x и cos 2x = 2cos²x − 1 получаем равносильное уравнение:

2cos²x − 1 + √3 cos x + 1 = 0.

Выносим общий множитель: cos x(2cos x + √3) = 0.

Следовательно, cos x = 0 или cos x = −√3/2.

Ответ а): x = π/2 + πk; x = ±5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

б) Отберём корни с помощью двойных неравенств; в каждой серии k — целое число.

Для x = π/2 + πk: −3π ≤ π/2 + πk ≤ −3π/2. Отсюда −7/2 ≤ k ≤ −2, поэтому k = −3 или k = −2. Получаем x = −5π/2 и x = −3π/2.

Для x = 5π/6 + 2πk: −3π ≤ 5π/6 + 2πk ≤ −3π/2. Отсюда −23/12 ≤ k ≤ −7/6. Целых чисел в этом промежутке нет.

Для x = −5π/6 + 2πk: −3π ≤ −5π/6 + 2πk ≤ −3π/2. Отсюда −13/12 ≤ k ≤ −1/3, поэтому k = −1 и x = −17π/6.

Ответ б): −17π/6; −5π/2; −3π/2.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

Перенесём все слагаемые в левую часть и вынесем cos x:

cos x(cos 2x − 1) − √2 sin²x = 0.

По формуле cos 2x − 1 = −2sin²x получаем:

−2cos x sin²x − √2 sin²x = 0, то есть sin²x(2cos x + √2) = 0.

Произведение равно нулю, если sin x = 0 или cos x = −√2/2.

Ответ а): x = πk; x = ±3π/4 + 2πk, k ∈ Z.

б) Отберём корни с помощью двойных неравенств; в каждой серии k — целое число.

Для x = πk: −5π/2 ≤ πk ≤ −π. Отсюда −5/2 ≤ k ≤ −1, поэтому k = −2 или k = −1. Получаем x = −2π и x = −π.

Для x = 3π/4 + 2πk: −5π/2 ≤ 3π/4 + 2πk ≤ −π. Отсюда −13/8 ≤ k ≤ −7/8, поэтому k = −1 и x = −5π/4.

Для x = −3π/4 + 2πk: −5π/2 ≤ −3π/4 + 2πk ≤ −π. Отсюда −7/8 ≤ k ≤ −1/8. Целых чисел в этом промежутке нет.

Ответ б): −2π; −5π/4; −π.