а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x.
Применим формулы 1 − cos 2x = 2sin²x и sin(x + π) = −sin x:
2sin²x + √2 sin x = √2 + 2sin x.
Перенесём все слагаемые в левую часть и разложим её на множители:
2sin²x + (√2 − 2)sin x − √2 = 0.
(sin x − 1)(2sin x + √2) = 0.
Следовательно, sin x = 1 или sin x = −√2/2.
Первое равенство даёт x = π/2 + 2πk; второе — x = −π/4 + 2πk или x = −3π/4 + 2πk, k ∈ Z.
Ответ: π/2 + 2πk; −π/4 + 2πk; −3π/4 + 2πk, k ∈ Z.
б) Для каждой серии решим условие −3π ≤ x ≤ −3π/2.
Если x = π/2 + 2πk, то −3π ≤ π/2 + 2πk ≤ −3π/2, откуда −7/4 ≤ k ≤ −1.
Единственное целое значение k = −1 даёт x = −3π/2.
Если x = −π/4 + 2πk, то −3π ≤ −π/4 + 2πk ≤ −3π/2, откуда −11/8 ≤ k ≤ −5/8.
Единственное целое значение k = −1 даёт x = −9π/4.
Если x = −3π/4 + 2πk, то −3π ≤ −3π/4 + 2πk ≤ −3π/2, откуда −9/8 ≤ k ≤ −3/8.
Единственное целое значение k = −1 даёт x = −11π/4.
Ответ: −11π/4; −9π/4; −3π/2.