а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Решение уравнения.
Уравнение определено при всех действительных x.
По формуле косинуса разности cos(x − π/4) = (√2/2)(cos x + sin x).
По формуле приведения sin(π/2 + x) = cos x.
Подставляя эти выражения, получаем равносильное уравнение:
√2(cos x + sin x) − 2√2 cos x = 0.
После приведения подобных слагаемых и деления на √2 получаем sin x − cos x = 0.
Так как sin x − cos x = √2 sin(x − π/4), имеем sin(x − π/4) = 0.
Синус равен нулю тогда и только тогда, когда его аргумент равен πk, k ∈ Z.
Ответ: x = π/4 + πk, k ∈ Z.
б) Отбор корней.
Подставим найденные корни в условие принадлежности отрезку:
−17π/2 ≤ π/4 + πk ≤ −7π.
Делим все части неравенства на положительное число π и вычитаем 1/4:
−35/4 ≤ k ≤ −29/4.
Единственное целое число в этих границах — k = −8.
Тогда x = π/4 − 8π = −31π/4.
Ответ: −31π/4.