а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обе части уравнения определены при всех действительных x.
Так как 16^(sin x) = (4^(sin x))², введём замену t = 4^(sin x), t > 0.
Получаем t² − 6t + 8 = 0, то есть (t − 2)(t − 4) = 0. Следовательно, t = 2 или t = 4; оба значения положительны.
Возвращаясь к x, получаем 4^(sin x) = 2 = 4^(1/2) или 4^(sin x) = 4¹. Из строгого возрастания показательной функции следует: sin x = 1/2 или sin x = 1.
Уравнение sin x = 1/2 даёт x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk. Уравнение sin x = 1 даёт x = π/2 + 2πk, где k ∈ Z.
Ответ а): π/2 + 2πk, k ∈ Z; π/6 + 2πk, k ∈ Z; 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.
б) Для x = π/2 + 2πk условие −5π ≤ x ≤ −7π/2 равносильно −11/4 ≤ k ≤ −2. Единственное целое значение k = −2 даёт x = −7π/2.
Для x = π/6 + 2πk получаем −5π ≤ π/6 + 2πk ≤ −7π/2, откуда −31/12 ≤ k ≤ −11/6. Единственное целое значение k = −2 даёт x = −23π/6.
Для x = 5π/6 + 2πk получаем −5π ≤ 5π/6 + 2πk ≤ −7π/2, откуда −35/12 ≤ k ≤ −13/6. В этих границах целых значений k нет.
Ответ б): −23π/6; −7π/2.