а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x.
Используем формулы 1 − cos 2x = 2sin²x и sin(x − π) = −sin x. Получаем равносильное уравнение:
2sin²x + √3 sin x = √3 + 2sin x.
Перенесём все слагаемые в левую часть и разложим на множители:
2sin²x + (√3 − 2)sin x − √3 = 0;
(sin x − 1)(2sin x + √3) = 0.
Следовательно, sin x = 1 или sin x = −√3/2.
Ответ а): x = π/2 + 2πk; x = −π/3 + 2πk; x = −2π/3 + 2πk, k ∈ Z.
б) Для каждой серии решим двойное неравенство −5π ≤ x ≤ −7π/2.
Для x = π/2 + 2πk:
−5π ≤ π/2 + 2πk ≤ −7π/2 ⇔ −11/4 ≤ k ≤ −2.
Единственное целое значение k = −2 даёт x = −7π/2.
Для x = −π/3 + 2πk:
−5π ≤ −π/3 + 2πk ≤ −7π/2 ⇔ −7/3 ≤ k ≤ −19/12.
Единственное целое значение k = −2 даёт x = −13π/3.
Для x = −2π/3 + 2πk:
−5π ≤ −2π/3 + 2πk ≤ −7π/2 ⇔ −13/6 ≤ k ≤ −17/12.
Единственное целое значение k = −2 даёт x = −14π/3.
Ответ б): −14π/3; −13π/3; −7π/2.