а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Решение уравнения.
Уравнение определено при всех действительных x.
Используем формулы sin(x + π) = −sin x и cos 2x = 1 − 2sin²x. Исходное уравнение равносильно:
1 − 2sin²x + √2 sin x − 1 = 0.
Разложим левую часть на множители: sin x(√2 − 2sin x) = 0.
Следовательно, sin x = 0 или sin x = √2/2.
Первое уравнение даёт x = πk, второе — x = π/4 + 2πk или x = 3π/4 + 2πk, k ∈ Z.
Ответ а): x = πk; x = π/4 + 2πk; x = 3π/4 + 2πk, k ∈ Z.
б) Отбор корней на отрезке [−7π/2; −2π].
Для x = πk условие −7π/2 ≤ πk ≤ −2π равносильно −7/2 ≤ k ≤ −2. Целые значения: k = −3 и k = −2; получаем −3π и −2π.
Для x = π/4 + 2πk условие −7π/2 ≤ π/4 + 2πk ≤ −2π равносильно −15/8 ≤ k ≤ −9/8. Целых значений k нет.
Для x = 3π/4 + 2πk условие −7π/2 ≤ 3π/4 + 2πk ≤ −2π равносильно −17/8 ≤ k ≤ −11/8. Единственное целое значение k = −2 даёт x = −13π/4.
Ответ б): −13π/4; −3π; −2π.