а) Решите уравнение
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x.
Положим t = 9^(sin x), t > 0. Тогда 81^(sin x) = t², и уравнение принимает вид 27t² − 12t + 1 = 0.
Разложим на множители: (9t − 1)(3t − 1) = 0. Отсюда t = 1/9 или t = 1/3; оба значения положительны.
Так как показательная функция с основанием 9 строго возрастает, из 9^(sin x) = 1/9 = 9⁻¹ следует sin x = −1, а из 9^(sin x) = 1/3 = 9^(−1/2) следует sin x = −1/2.
Первое уравнение даёт x = −π/2 + 2πk. Второе даёт x = −π/6 + 2πk или x = −5π/6 + 2πk, где k ∈ Z.
Ответ а): −π/2 + 2πk, k ∈ Z; −π/6 + 2πk, k ∈ Z; −5π/6 + 2πk, k ∈ Z.
б) Отберём корни по условию 3π/2 ≤ x ≤ 3π.
Для x = −π/2 + 2πk: 3π/2 ≤ −π/2 + 2πk ≤ 3π, откуда 1 ≤ k ≤ 7/4. Поэтому k = 1 и x = 3π/2.
Для x = −π/6 + 2πk: 3π/2 ≤ −π/6 + 2πk ≤ 3π, откуда 5/6 ≤ k ≤ 19/12. Поэтому k = 1 и x = 11π/6.
Для x = −5π/6 + 2πk: 3π/2 ≤ −5π/6 + 2πk ≤ 3π, откуда 7/6 ≤ k ≤ 23/12. Целых значений k нет.
Ответ б): 3π/2; 11π/6.