а) Решите уравнение
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x.
Так как 49 = 7² и 1/7 = 7⁻¹, получаем: 7^(2sin x) = 7^(√2 sin 2x).
Показательная функция с основанием 7 строго возрастает, поэтому равенство равносильно уравнению 2sin x = √2 sin 2x.
По формуле sin 2x = 2sin x cos x получаем 2sin x(1 − √2 cos x) = 0.
Следовательно, sin x = 0 или cos x = 1/√2 = √2/2.
Ответ а): x = πk, k ∈ Z; x = ±π/4 + 2πk, k ∈ Z.
б) Отберём корни по условию 2π ≤ x ≤ 7π/2.
Для x = πk: 2 ≤ k ≤ 7/2. Целые значения k: 2 и 3; получаем 2π и 3π.
Для x = π/4 + 2πk: 2π ≤ π/4 + 2πk ≤ 7π/2, откуда 7/8 ≤ k ≤ 13/8. Поэтому k = 1 и x = 9π/4.
Для x = −π/4 + 2πk: 2π ≤ −π/4 + 2πk ≤ 7π/2, откуда 9/8 ≤ k ≤ 15/8. Целых значений k нет.
Ответ б): 2π; 9π/4; 3π.