а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Решение уравнения.
Уравнение определено при всех действительных x.
По формуле синуса разности sin(x − π/4) = (√2/2)(sin x − cos x).
По формуле приведения cos(π/2 + x) = −sin x.
Подставляя эти выражения, получаем равносильное уравнение:
√2(sin x − cos x) − 2√2 sin x = 0.
После приведения подобных слагаемых и деления на −√2 получаем sin x + cos x = 0.
Так как sin x + cos x = √2 sin(x + π/4), имеем sin(x + π/4) = 0.
Синус равен нулю тогда и только тогда, когда его аргумент равен πk, k ∈ Z.
Ответ: x = −π/4 + πk, k ∈ Z.
б) Отбор корней.
Подставим найденные корни в условие принадлежности отрезку:
−4π ≤ −π/4 + πk ≤ −5π/2.
Делим все части неравенства на положительное число π и прибавляем 1/4:
−15/4 ≤ k ≤ −9/4.
Единственное целое число в этих границах — k = −3.
Тогда x = −π/4 − 3π = −13π/4.
Ответ: −13π/4.