а) Решите уравнение
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Решение уравнения.
Уравнение определено при всех действительных x.
По формуле синуса суммы 2sin(x + π/6) = √3 sin x + cos x. Поэтому исходное уравнение равносильно:
√3 sin x + cos x − 2√3 cos²x = cos x − 2√3.
Сократим cos x, разделим на √3 и перенесём все слагаемые в левую часть: sin x + 2(1 − cos²x) = 0.
Используя 1 − cos²x = sin²x, получаем sin x + 2sin²x = 0, то есть sin x(1 + 2sin x) = 0.
Следовательно, sin x = 0 или sin x = −1/2.
Ответ а): x = πk; x = −π/6 + 2πk; x = −5π/6 + 2πk, k ∈ Z.
б) Отбор корней на отрезке [−5π/2; −π].
Для x = πk условие −5π/2 ≤ πk ≤ −π равносильно −5/2 ≤ k ≤ −1. Целые значения: k = −2 и k = −1; получаем −2π и −π.
Для x = −π/6 + 2πk условие −5π/2 ≤ −π/6 + 2πk ≤ −π равносильно −7/6 ≤ k ≤ −5/12. Единственное целое значение k = −1 даёт x = −13π/6.
Для x = −5π/6 + 2πk условие −5π/2 ≤ −5π/6 + 2πk ≤ −π равносильно −5/6 ≤ k ≤ −1/12. Целых значений k нет.
Ответ б): −13π/6; −2π; −π.