Задание 14 ЕГЭ по профильной математике

а) $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$, $\cos (x+\pi )=-\cos x$. Уравнение принимает вид

$2{\cos }^{2}x-\sqrt{2}\cos x=0$, $\cos x\cdot (2\cos x-\sqrt{2})=0$.

$\cos x=0$: $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$: $x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$.

б) Отбираем корни на отрезке $[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}]$ (удобно по числовой окружности).

Серия $\frac{\pi }{2}+\pi k$ даёт $-\frac{7\pi }{2}$ и $-\frac{5\pi }{2}$; серия $\frac{\pi }{4}+2\pi n$ даёт $-\frac{15\pi }{4}$; из серии $-\frac{\pi }{4}+2\pi m$ ближайшие $-\frac{9\pi }{4}$ и $-\frac{17\pi }{4}$ лежат вне отрезка.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; $\frac{\pi }{4}+2\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$; $-\frac{\pi }{4}+2\pi m$, $m\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{15\pi }{4}$; $-\frac{7\pi }{2}$; $-\frac{5\pi }{2}$.

а) По формулам косинуса суммы и приведения: $4\cos (x+\frac{\pi }{4})=2\sqrt{2}\cos x-2\sqrt{2}\sin x$, $\cos (\pi -x)=-\cos x$.

Подставим: $2\sqrt{2}\cos x-2\sqrt{2}\sin x-2\sqrt{2}\cos x=2$, то есть $-2\sqrt{2}\sin x=2$, $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$x=-\frac{\pi }{4}+2\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$, или $x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $[\frac{17\pi }{2};10\pi ]$ — это от $\mathrm{8,5}\pi$ до $10\pi$. В него попадают $-\frac{3\pi }{4}+10\pi =\frac{37\pi }{4}$ и $-\frac{\pi }{4}+10\pi =\frac{39\pi }{4}$; соседние корни ($\frac{31\pi }{4}$, $\frac{45\pi }{4}$ и т. д.) лежат вне отрезка.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{4}+2\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$; $-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{37\pi }{4}$; $\frac{39\pi }{4}$.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

Перенесём все слагаемые в левую часть и применим тождество 1 − sin²x = cos²x:

2sin x · cos²x + √3(1 − sin²x) = 0.

Вынесем общий множитель: cos²x(2sin x + √3) = 0.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда cos x = 0 или sin x = −√3/2.

Из первого уравнения x = π/2 + πk; из второго x = −π/3 + 2πk или x = −2π/3 + 2πk, где k ∈ Z.

Ответ: π/2 + πk, k ∈ Z; −π/3 + 2πk, k ∈ Z; −2π/3 + 2πk, k ∈ Z.

б) Отберём корни на отрезке [7π/2; 5π] с помощью двойных неравенств.

Для первой серии: 7π/2 ≤ π/2 + πk ≤ 5π, откуда 3 ≤ k ≤ 9/2. Целые значения k = 3 и k = 4 дают корни 7π/2 и 9π/2.

Для второй серии: 7π/2 ≤ −π/3 + 2πk ≤ 5π, откуда 23/12 ≤ k ≤ 8/3. Единственное целое значение k = 2 даёт корень 11π/3.

Для третьей серии: 7π/2 ≤ −2π/3 + 2πk ≤ 5π, откуда 25/12 ≤ k ≤ 17/6. Целых значений k в этом промежутке нет.

Ответ: 7π/2; 11π/3; 9π/2.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

Перенесём все слагаемые в левую часть и сгруппируем:

2cos x(cos²x − 1) + √2sin²x = 0.

По тождеству cos²x − 1 = −sin²x получаем sin²x(√2 − 2cos x) = 0.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда sin x = 0 или cos x = √2/2.

Следовательно, x = πk или x = ±π/4 + 2πk, где k ∈ Z.

Ответ: πk, k ∈ Z; ±π/4 + 2πk, k ∈ Z.

б) Отберём корни на отрезке [5π/2; 4π] с помощью двойных неравенств.

Для серии x = πk: 5π/2 ≤ πk ≤ 4π, откуда 5/2 ≤ k ≤ 4. Значения k = 3 и k = 4 дают корни 3π и 4π.

Для серии x = π/4 + 2πk: 5π/2 ≤ π/4 + 2πk ≤ 4π, откуда 9/8 ≤ k ≤ 15/8. Целых значений k в этом промежутке нет.

Для серии x = −π/4 + 2πk: 5π/2 ≤ −π/4 + 2πk ≤ 4π, откуда 11/8 ≤ k ≤ 17/8. Единственное целое значение k = 2 даёт корень 15π/4.

Ответ: 3π; 15π/4; 4π.

а) Решение уравнения.

Уравнение определено при всех действительных x.

По формулам cos(−x) = cos x и cos 2x = 2cos²x − 1 получаем:

2cos²x + cos x − 1 = 0.

Разложим на множители: (2cos x − 1)(cos x + 1) = 0.

Следовательно, cos x = 1/2 или cos x = −1.

Ответ а): x = π + 2πk; x = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z.

б) Отбор корней на отрезке [−7π/2; −2π].

Для x = π + 2πk: −7π/2 ≤ π + 2πk ≤ −2π, откуда −9/4 ≤ k ≤ −3/2. Единственное целое значение k = −2 даёт x = −3π.

Для x = π/3 + 2πk: −7π/2 ≤ π/3 + 2πk ≤ −2π, откуда −23/12 ≤ k ≤ −7/6. Целых значений k нет.

Для x = −π/3 + 2πk: −7π/2 ≤ −π/3 + 2πk ≤ −2π, откуда −19/12 ≤ k ≤ −5/6. Единственное целое значение k = −1 даёт x = −7π/3.

Ответ б): −3π; −7π/3.

а) Решение уравнения.

Уравнение определено при всех действительных x.

По формулам приведения cos(3π/2 + x) = sin x; также cos 2x = 1 − 2sin²x.

Подставим эти выражения: 1 − 2sin²x − √2 sin x − 1 = 0.

Равносильно: sin x(2sin x + √2) = 0.

Следовательно, sin x = 0 или sin x = −√2/2.

Первое уравнение даёт x = πk, второе — x = −π/4 + 2πk или x = −3π/4 + 2πk, k ∈ Z.

Ответ а): x = πk; x = −π/4 + 2πk; x = −3π/4 + 2πk, k ∈ Z.

б) Отбор корней на отрезке [3π/2; 3π].

Для x = πk: 3π/2 ≤ πk ≤ 3π, откуда 3/2 ≤ k ≤ 3. Целые значения k = 2 и k = 3 дают x = 2π и x = 3π.

Для x = −π/4 + 2πk: 3π/2 ≤ −π/4 + 2πk ≤ 3π, откуда 7/8 ≤ k ≤ 13/8. Единственное целое значение k = 1 даёт x = 7π/4.

Для x = −3π/4 + 2πk: 3π/2 ≤ −3π/4 + 2πk ≤ 3π, откуда 9/8 ≤ k ≤ 15/8. Целых значений k нет.

Ответ б): 7π/4; 2π; 3π.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

Запишем степени с основанием 3: 3^(3x) − 84·3^x + 243/3^x = 0.

Положим t = 3^x, t > 0. Умножение на t равносильно, поскольку t положительно: t⁴ − 84t² + 243 = 0.

Разложим на множители: (t² − 81)(t² − 3) = 0.

Отсюда t² = 81 или t² = 3. С учётом t > 0 получаем t = 9 или t = √3.

Следовательно, 3^x = 3² или 3^x = 3^(1/2). Показательная функция с основанием 3 строго возрастает, поэтому x = 2 или x = 1/2.

Ответ: 2; 1/2.

б) Отберём корни по условию √3 ≤ x ≤ log₂5.

Корень 1/2 не подходит, поскольку 1/2 < √3.

Для корня 2 имеем √3 < 2, так как 3 < 4. Кроме того, 2 < log₂5, поскольку 2² = 4 < 5 и функция 2^x возрастает.

Таким образом, отрезку принадлежит только корень 2.

Ответ: 2.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

Положим t = 9^(cos x), t > 0. Тогда 81^(cos x) = t², и уравнение принимает вид 9t² − 28t + 3 = 0.

Разложим на множители: (9t − 1)(t − 3) = 0. Следовательно, t = 1/9 или t = 3.

Возвращаясь к замене, получаем 9^(cos x) = 9^(−1) или 9^(cos x) = 9^(1/2).

Из строгого возрастания показательной функции следует: cos x = −1 или cos x = 1/2.

Первое уравнение даёт x = π + 2πk, второе — x = ±π/3 + 2πk, где k ∈ Z.

Ответ: π + 2πk, k ∈ Z; ±π/3 + 2πk, k ∈ Z.

б) Для каждой серии решим двойное неравенство 5π/2 ≤ x ≤ 4π.

Для x = π + 2πk: 5/2 ≤ 1 + 2k ≤ 4, откуда 3/4 ≤ k ≤ 3/2. Единственное целое значение k = 1 даёт x = 3π.

Для x = π/3 + 2πk: 5/2 ≤ 1/3 + 2k ≤ 4, откуда 13/12 ≤ k ≤ 11/6. Целых значений k нет.

Для x = −π/3 + 2πk: 5/2 ≤ −1/3 + 2k ≤ 4, откуда 17/12 ≤ k ≤ 13/6. Единственное целое значение k = 2 даёт x = 11π/3.

Ответ: 3π; 11π/3.

а) Область определения: x ∈ R.

По формуле приведения sin(x + π) = −sin x исходное уравнение равносильно:

16^(sin x) + 16^(−sin x) = 17/4.

Положим t = 16^(sin x), t > 0. Тогда t + 1/t = 17/4.

Умножая на 4t ≠ 0, получаем 4t² − 17t + 4 = 0, или (4t − 1)(t − 4) = 0.

Следовательно, t = 1/4 или t = 4. Поскольку 1/4 = 16^(−1/2), а 4 = 16^(1/2), получаем sin x = −1/2 или sin x = 1/2.

Объединяя решения этих простейших тригонометрических уравнений, находим x = ±π/6 + πk, k ∈ Z.

Ответ а): ±π/6 + πk, k ∈ Z.

б) Отберём корни с помощью двойных неравенств.

Для x = π/6 + πk условие 3π/2 ≤ π/6 + πk ≤ 3π равносильно 4/3 ≤ k ≤ 17/6.

Единственное целое значение — k = 2, откуда x = 13π/6.

Для x = −π/6 + πk условие 3π/2 ≤ −π/6 + πk ≤ 3π равносильно 5/3 ≤ k ≤ 19/6.

Целые значения k = 2 и k = 3 дают x = 11π/6 и x = 17π/6.

Ответ б): 11π/6; 13π/6; 17π/6.

а) Область определения: x ∈ R.

Используем формулы sin 2x = 2sin x cos x, sin(−x) = −sin x, cos(−x) = cos x.

Исходное уравнение равносильно 2sin x cos x − 2sin x + cos x − 1 = 0.

Группируя слагаемые, получаем 2sin x(cos x − 1) + (cos x − 1) = 0.

Следовательно, (cos x − 1)(2sin x + 1) = 0.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда cos x = 1 или sin x = −1/2.

Первое уравнение даёт x = 2πk, k ∈ Z; второе — x = −π/6 + 2πk или x = −5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

Ответ а): 2πk; −π/6 + 2πk; −5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

б) Для каждой серии потребуем 2π ≤ x ≤ 7π/2.

Для x = 2πk получаем 1 ≤ k ≤ 7/4. Поэтому k = 1 и x = 2π.

Для x = −π/6 + 2πk получаем 13/12 ≤ k ≤ 11/6. Целых значений k нет.

Для x = −5π/6 + 2πk получаем 17/12 ≤ k ≤ 13/6. Поэтому k = 2 и x = 19π/6.

Таким образом, отобраны все корни на заданном отрезке.

Ответ б): 2π; 19π/6.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

Используем чётность косинуса: cos(−x) = cos x, и тождество sin²x = 1 − cos²x.

Получаем равносильное уравнение: 2cos x − 2√3 cos x − 4 + 4cos²x = √3 − 4.

После переноса слагаемых: 4cos²x + (2 − 2√3)cos x − √3 = 0.

Разложим левую часть на множители: (2cos x − √3)(2cos x + 1) = 0.

Следовательно, cos x = √3/2 или cos x = −1/2.

Ответ а): x = ±π/6 + 2πk, k ∈ Z; x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ Z.

б) Отберём корни с помощью двойных неравенств 2π ≤ x ≤ 7π/2.

Для x = π/6 + 2πk получаем 11/12 ≤ k ≤ 5/3. Единственное целое значение k = 1 даёт x = 13π/6.

Для x = −π/6 + 2πk получаем 13/12 ≤ k ≤ 11/6. Целых значений k нет.

Для x = 2π/3 + 2πk получаем 2/3 ≤ k ≤ 17/12. Единственное целое значение k = 1 даёт x = 8π/3.

Для x = −2π/3 + 2πk получаем 4/3 ≤ k ≤ 25/12. Единственное целое значение k = 2 даёт x = 10π/3.

Ответ б): 13π/6; 8π/3; 10π/3.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

По формуле синуса суммы: 2sin(x + π/3) = sin x + √3 cos x.

Подставим это выражение и сократим одинаковые слагаемые: sin x + cos 2x = 1.

Используя cos 2x = 1 − 2sin²x, получаем равносильное уравнение sin x − 2sin²x = 0.

Разложим на множители: sin x(1 − 2sin x) = 0.

Следовательно, sin x = 0 или sin x = 1/2.

Первое уравнение даёт x = πk; второе — x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, где k ∈ Z.

Ответ а): πk, k ∈ Z; π/6 + 2πk, k ∈ Z; 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

б) Для каждой серии решим двойное неравенство −3π ≤ x ≤ −3π/2.

Для x = πk получаем −3 ≤ k ≤ −3/2. Целые значения k = −3 и k = −2 дают корни −3π и −2π.

Для x = π/6 + 2πk получаем −19/12 ≤ k ≤ −5/6. Единственное целое значение k = −1 даёт x = −11π/6.

Для x = 5π/6 + 2πk получаем −23/12 ≤ k ≤ −7/6. Целых значений k нет.

Ответ б): −3π; −2π; −11π/6.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

Используем формулы cos 2x = 2cos²x − 1 и cos(x + π) = −cos x:

2cos²x − 1 − √2 cos x + 1 = 0.

Выносим общий множитель: cos x(2cos x − √2) = 0.

Следовательно, cos x = 0 или cos x = √2/2.

Ответ: x = π/2 + πk, k ∈ Z; x = ±π/4 + 2πk, k ∈ Z.

б) Отберём корни с помощью двойных неравенств.

Для x = π/2 + πk получаем −4π ≤ π/2 + πk ≤ −5π/2, откуда −9/2 ≤ k ≤ −3.

Целые значения: k = −4, −3. Получаем x = −7π/2 и x = −5π/2.

Для x = π/4 + 2πk получаем −4π ≤ π/4 + 2πk ≤ −5π/2, откуда −17/8 ≤ k ≤ −11/8.

Единственное целое значение k = −2 даёт x = −15π/4.

Для x = −π/4 + 2πk получаем −4π ≤ −π/4 + 2πk ≤ −5π/2, откуда −15/8 ≤ k ≤ −9/8. Целых значений k нет.

Ответ: −15π/4; −7π/2; −5π/2.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

Используем формулы sin(2π − x) = −sin x и sin 2x = 2sin x cos x, переносим правую часть влево:

2sin²x − √2 sin x + 2√3 sin x cos x − √6 cos x = 0.

Группируем слагаемые: sin x(2sin x − √2) + √3 cos x(2sin x − √2) = 0.

Получаем равносильное уравнение (2sin x − √2)(sin x + √3 cos x) = 0.

Первый множитель равен нулю при sin x = √2/2, то есть x = π/4 + 2πk или x = 3π/4 + 2πk, k ∈ Z.

Для второго множителя используем формулу сложения: sin x + √3 cos x = 2sin(x + π/3).

Поэтому sin(x + π/3) = 0, откуда x = −π/3 + πk, k ∈ Z.

Ответ: π/4 + 2πk, k ∈ Z; 3π/4 + 2πk, k ∈ Z; −π/3 + πk, k ∈ Z.

б) Отберём корни с помощью двойных неравенств.

Для x = π/4 + 2πk: −π ≤ π/4 + 2πk ≤ π/2, откуда −5/8 ≤ k ≤ 1/8. Только k = 0, поэтому x = π/4.

Для x = 3π/4 + 2πk: −π ≤ 3π/4 + 2πk ≤ π/2, откуда −7/8 ≤ k ≤ −1/8. Целых значений k нет.

Для x = −π/3 + πk: −π ≤ −π/3 + πk ≤ π/2, откуда −2/3 ≤ k ≤ 5/6. Только k = 0, поэтому x = −π/3.

Ответ: −π/3; π/4.

а) Уравнение определено при всех x ∈ R.

Используем нечётность синуса и формулу косинуса двойного угла: sin(−x) = −sin x, cos 2x = 1 − 2sin²x.

Получаем равносильное уравнение: 1 − 2sin²x + 3sin x − 2 = 0.

Следовательно, 2sin²x − 3sin x + 1 = 0, то есть (2sin x − 1)(sin x − 1) = 0.

Отсюда sin x = 1/2 или sin x = 1.

Ответ: x = π/2 + 2πk; x = π/6 + 2πk; x = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

б) Для каждой серии решим двойное неравенство 3π ≤ x ≤ 9π/2.

Для x = π/2 + 2πk получаем 3π ≤ π/2 + 2πk ≤ 9π/2, откуда 5/4 ≤ k ≤ 2. Единственное целое k = 2, поэтому x = 9π/2.

Для x = π/6 + 2πk получаем 3π ≤ π/6 + 2πk ≤ 9π/2, откуда 17/12 ≤ k ≤ 13/6. Единственное целое k = 2, поэтому x = 25π/6.

Для x = 5π/6 + 2πk получаем 3π ≤ 5π/6 + 2πk ≤ 9π/2, откуда 13/12 ≤ k ≤ 11/6. Целых k в этом промежутке нет.

Ответ: 25π/6; 9π/2.

а) Уравнение определено при всех x ∈ R.

По формуле приведения sin(x + 3π/2) = −cos x, поэтому sin²(x + 3π/2) = cos²x. Также sin 2x = 2sin x cos x.

Исходное уравнение равносильно уравнению 2√3 cos²x + 2sin x cos x = 0.

Выносим общий множитель: 2cos x(√3 cos x + sin x) = 0.

Следовательно, cos x = 0 или sin x + √3 cos x = 0.

Первое уравнение даёт x = π/2 + πk, k ∈ Z.

Во втором уравнении cos x ≠ 0: иначе sin x = ±1 и равенство невозможно. Делим на cos x и получаем tg x = −√3, откуда x = −π/3 + πk, k ∈ Z.

Ответ: x = π/2 + πk; x = −π/3 + πk, k ∈ Z.

б) Для каждой серии решим двойное неравенство −4π ≤ x ≤ −5π/2.

Для x = π/2 + πk получаем −4π ≤ π/2 + πk ≤ −5π/2, откуда −9/2 ≤ k ≤ −3. Целые значения: k = −4 и k = −3.

Им соответствуют корни −7π/2 и −5π/2.

Для x = −π/3 + πk получаем −4π ≤ −π/3 + πk ≤ −5π/2, откуда −11/3 ≤ k ≤ −13/6. Единственное целое k = −3, поэтому x = −10π/3.

Ответ: −7π/2; −10π/3; −5π/2.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

Используем формулы cos(π − 2x) = −cos 2x и cos 2x = 1 − 2sin²x. Тогда 2 + 2cos(π − 2x) = 4sin²x.

Учитывая √8 = 2√2 и √12 = 2√3, получаем равносильное уравнение:

4sin²x + (2√2 − 2√3)sin x − √6 = 0.

Разложим левую часть на множители: (2sin x − √3)(2sin x + √2) = 0.

Следовательно, sin x = √3/2 или sin x = −√2/2.

Ответ: x = π/3 + 2πk; x = 2π/3 + 2πk; x = −π/4 + 2πk; x = −3π/4 + 2πk, k ∈ Z.

б) Для каждой серии решим двойное неравенство 3π ≤ x ≤ 9π/2, учитывая целочисленность k.

При x = π/3 + 2πk получаем 4/3 ≤ k ≤ 25/12. Поэтому k = 2 и x = 13π/3.

При x = 2π/3 + 2πk получаем 7/6 ≤ k ≤ 23/12. Целых k в этом промежутке нет.

При x = −π/4 + 2πk получаем 13/8 ≤ k ≤ 19/8. Поэтому k = 2 и x = 15π/4.

При x = −3π/4 + 2πk получаем 15/8 ≤ k ≤ 21/8. Поэтому k = 2 и x = 13π/4.

Ответ: 13π/4; 15π/4; 13π/3.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

Используем чётность косинуса: cos(−x) = cos x, а также тождество sin²x = 1 − cos²x.

Получаем равносильное уравнение 2(1 − cos²x) + cos x − 1 = 0.

После приведения подобных слагаемых и умножения на −1: 2cos²x − cos x − 1 = 0.

Разложим на множители: (cos x − 1)(2cos x + 1) = 0.

Следовательно, cos x = 1 или cos x = −1/2.

Ответ: x = 2πk; x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ Z.

б) Для каждой серии решим двойное неравенство −9π/2 ≤ x ≤ −3π, учитывая целочисленность k.

При x = 2πk получаем −9/4 ≤ k ≤ −3/2. Поэтому k = −2 и x = −4π.

При x = 2π/3 + 2πk получаем −31/12 ≤ k ≤ −11/6. Поэтому k = −2 и x = −10π/3.

При x = −2π/3 + 2πk получаем −23/12 ≤ k ≤ −7/6. Целых k в этом промежутке нет.

Ответ: −4π; −10π/3.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

По формулам сложения и приведения cos(x + π/4) = (√2/2)(cos x − sin x), cos(π − x) = −cos x.

Подставим эти выражения в уравнение:

2√2(cos x − sin x) − 2√2 cos x = 2.

После приведения подобных слагаемых получаем −2√2 sin x = 2, откуда sin x = −√2/2.

Ответ: x = −π/4 + 2πk или x = −3π/4 + 2πk, k ∈ Z.

б) Отберём корни с помощью двойных неравенств.

Для первой серии: 17π/2 ≤ −π/4 + 2πk ≤ 10π.

Прибавив π/4 и разделив на 2π > 0, получаем 35/8 ≤ k ≤ 41/8. Единственное целое значение — k = 5, поэтому x = 39π/4.

Для второй серии: 17π/2 ≤ −3π/4 + 2πk ≤ 10π.

Прибавив 3π/4 и разделив на 2π > 0, получаем 37/8 ≤ k ≤ 43/8. Единственное целое значение — k = 5, поэтому x = 37π/4.

Ответ: 37π/4; 39π/4.

а) Уравнение определено при всех действительных x.

Применим формулы sin(π/2 − x) = cos x и sin 2x = 2 sin x cos x.

Получаем равносильное уравнение 2cos² x + 2 sin x cos x = 0.

Вынесем общий множитель: 2 cos x(cos x + sin x) = 0.

Произведение равно нулю, если cos x = 0 или cos x + sin x = 0.

Из cos x = 0 получаем x = π/2 + πk, k ∈ Z.

Во втором случае cos x ≠ 0: иначе sin x = ±1 и сумма cos x + sin x не равна нулю. Поэтому деление на cos x даёт равносильное уравнение tg x = −1.

Следовательно, x = −π/4 + πk, k ∈ Z.

Ответ: x = π/2 + πk или x = −π/4 + πk, k ∈ Z.

б) Для первой серии запишем 3π ≤ π/2 + πk ≤ 9π/2.

Вычитая π/2 и деля на π > 0, получаем 5/2 ≤ k ≤ 4. Значит, k = 3 или k = 4, что даёт x = 7π/2 или x = 9π/2.

Для второй серии: 3π ≤ −π/4 + πk ≤ 9π/2.

Прибавляя π/4 и деля на π > 0, получаем 13/4 ≤ k ≤ 19/4. Единственное целое значение — k = 4, поэтому x = 15π/4.

Ответ: 7π/2; 15π/4; 9π/2.