Задание 8 ЕГЭ по профильной математике

Используем табличное значение: cos(π/4) = √2/2.
По формуле приведения cos(4π/3) = cos(π + π/3) = −cos(π/3) = −1/2.
Тогда 26√2 · (√2/2) · (−1/2) = 26 · (−1/2) = −13.
Ответ: −13.

Вынесем из-под корней квадратные множители:
√96 = √(16 · 6) = 4√6, √24 = √(4 · 6) = 2√6.
Тогда (√96 − √24) · √6 = (4√6 − 2√6) · √6 = 2 · 6 = 12.
Ответ: 12.

Применим формулу понижения степени: cos² α = (1 + cos 2α)/2.
cos(11π/6) = cos(2π − π/6) = √3/2.
Поэтому 6√3 cos²(11π/12) − 3√3 = 3√3(1 + √3/2) − 3√3.
Получаем 3√3 · √3/2 = 9/2 = 4,5.
Ответ: 4,5.

Применим правила: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ и aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.

(2¹⁶)⁵/2⁷⁴ = 2⁸⁰/2⁷⁴ = 2⁶.

2⁶ = 64.

Ответ: 64.

По основному тригонометрическому тождеству sin²α + cos²α = 1.

sin²α = 1 − (−√26/26)² = 1 − 1/26 = 25/26.

Во второй четверти sin α положителен, поэтому sin α = 5/√26.

tg α = sin α/cos α = (5/√26)/(−1/√26) = −5.

Ответ: −5.

Применим формулу двойного угла: sin 2α = 2 sin α cos α.

4 sin 41° cos 41° = 2 sin 82°.

Поэтому (4 sin 41° cos 41°)/sin 82° = 2, поскольку sin 82° ≠ 0.

Ответ: 2.

По основному тригонометрическому тождеству cos²α = 1 − sin²α.

cos²α = 1 − (√26/26)² = 25/26.

В первой четверти cos α положителен, поэтому cos α = 5/√26.

tg α = sin α/cos α = (1/√26)/(5/√26) = 1/5 = 0,2.

Ответ: 0,2.

Вынесем 3√2 и применим формулу cos²α − sin²α = cos 2α.

3√2 · (cos²(9π/8) − sin²(9π/8)) = 3√2 · cos(9π/4).

По периодичности косинуса cos(9π/4) = cos(2π + π/4) = cos(π/4) = √2/2.

Получаем 3√2 · √2/2 = 3.

Ответ: 3.

Используем формулу двойного угла: cos²α − sin²α = cos(2α).

5√2 cos²(7π/8) − 5√2 sin²(7π/8) = 5√2 cos(7π/4).

cos(7π/4) = cos(2π − π/4) = cos(π/4) = √2/2.

Следовательно, значение выражения равно 5√2 · √2/2 = 5.

Ответ: 5.

Применим правило разности логарифмов: logₐ b − logₐ c = logₐ(b/c).

Получаем: log₀,₇ 10 − log₀,₇ 7 = log₀,₇(10/7).

Так как 0,7 = 7/10, то (0,7)⁻¹ = 10/7.

По определению логарифма log₀,₇(10/7) = −1.

Ответ: −1.

Представим основания степеней как степени числа 2: 4 = 2², 16 = 2⁴.
Используем правила (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ и aᵐ ⋅ aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
4^(1/5) ⋅ 16^(9/10) = 2^(2/5) ⋅ 2^(36/10).
2^(2/5 + 18/5) = 2⁴ = 16.
Ответ: 16.

Представим 81 как степень числа 9: 81 = 9².
Используем правила (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ и aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.
81^2,6 / 9^3,7 = 9^5,2 / 9^3,7 = 9^1,5.
9^(3/2) = (√9)³ = 3³ = 27.
Ответ: 27.

Применим правило разности логарифмов: log₂ a − log₂ b = log₂(a/b), где a > 0, b > 0.
log₂ 96 − log₂ 3 = log₂(96/3) = log₂ 32.
Поскольку 32 = 2⁵, по определению логарифма log₂ 32 = 5.
Ответ: 5.

Применим формулу перехода к новому основанию: log₃₆17 = log₆17 / log₆36.

Поскольку 36 = 6², получаем log₆36 = 2.

Следовательно, log₆17 / log₃₆17 = log₆17 / (log₆17 / 2) = 2.

Ответ: 2.

Используем табличные значения: tg(π/4) = 1, sin(π/4) = √2/2.

Подставим их: 18√2 · tg(π/4) · sin(π/4) = 18√2 · 1 · √2/2.

Получаем 18 · 2/2 = 18.

Ответ: 18.

По формуле приведения cos 55° = sin 35°.

По формуле двойного угла sin 70° = 2sin 35° · cos 35°.

Тогда 2sin 70° / (cos 35° · cos 55°) = 4sin 35° · cos 35° / (cos 35° · sin 35°) = 4.

Ответ: 4.

Применим формулу косинуса двойного угла: cos 2α = 1 − 2sin²α.

При sin α = −0,8 получаем sin²α = 0,64.

Следовательно, 6cos 2α = 6 · (1 − 2 · 0,64) = 6 · (−0,28) = −1,68.

Ответ: −1,68.

Используем правила (ab)² = a²b² и (√a)² = a при a ≥ 0.

Числитель равен (3√8)² = 3² · (√8)² = 9 · 8 = 72.

Значение выражения: 72/6 = 12.

Ответ: 12.

Применим свойство логарифма степени: logₐ(aᵏ) = k.
Корень четвёртой степени из 5 равен 5^(1/4).
8log₅(5^(1/4)) = 8 · 1/4 = 2.
Ответ: 2.

Используем формулу двойного угла: cos 2α = 1 − 2sin²α.
При sin α = 0,2 получаем cos 2α = 1 − 2 · 0,04 = 0,92.
Следовательно, 3cos 2α = 3 · 0,92 = 2,76.
Ответ: 2,76.