Задание 8 ЕГЭ по профильной математике

При возведении степени в степень показатели перемножаются: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
(4¹⁵)⁵ = 4⁷⁵.
При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: 4⁷⁵ / 4⁷³ = 4² = 16.
Ответ: 16.

Используем свойство логарифма степени: log₇(2⁵) = 5 · log₇2.
Поскольку 32 = 2⁵, имеем log₇32 / log₇2 = (5 · log₇2) / log₇2.
Число log₇2 ≠ 0, поэтому сокращаем дробь и получаем 5.
Ответ: 5.

По основному тригонометрическому тождеству sin²α + cos²α = 1.
Следовательно, sin²α = 1 − (−√21/5)² = 1 − 21/25 = 4/25.
Угол α лежит во второй четверти, где синус положителен.
Поэтому sin α = √(4/25) = 2/5 = 0,4.
Ответ: 0,4.

По формуле перехода к новому основанию log₉28 / log₉7 = log₇28.

Сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения:

log₇28 + log₇(7/4) = log₇(28 · 7/4) = log₇49.

Так как 49 = 7², то log₇49 = 2.

Ответ: 2.

Применим правило разности логарифмов: logₐb − logₐc = logₐ(b/c).

log₀,₆50 − log₀,₆18 = log₀,₆(50/18) = log₀,₆(25/9).

Поскольку 0,6 = 3/5 и 25/9 = (3/5)⁻², получаем log₀,₆(25/9) = −2.

Ответ: −2.

Применим правило суммы логарифмов: logₐb + logₐc = logₐ(bc).

log₂6,4 + log₂5 = log₂(6,4 · 5) = log₂32.

Так как 32 = 2⁵, то log₂32 = 5.

Ответ: 5.

По свойствам кубических корней произведение и частное корней можно объединить под одним корнем.

∛400 · ∛25 / ∛80 = ∛(400 · 25 / 80).

400 · 25 / 80 = 5 · 25 = 125, поэтому ∛125 = 5.

Ответ: 5.

Представим кубический корень в виде степени: ∛7 = 7^(1/3).

По свойству логарифма степени log₇(7^(1/3)) = 1/3.

Следовательно, 6 · log₇(∛7) = 6 · 1/3 = 2.

Ответ: 2.

Применим свойство разности логарифмов: log₂ a − log₂ b = log₂(a/b).

log₂ 56 − log₂ 7 = log₂(56/7) = log₂ 8.

Так как 2³ = 8, получаем log₂ 8 = 3.

Ответ: 3.

Используем формулу двойного угла: cos 2α = 1 − 2sin²α.

При sin α = 0,6 получаем sin²α = 0,36.

3cos 2α = 3 · (1 − 2 · 0,36) = 3 · 0,28 = 0,84.

Ответ: 0,84.

Приведём степени к основанию 3: 9 = 3².

9^(2,6) = (3²)^(2,6) = 3^(5,2).

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: 3^(9,2)/3^(5,2) = 3^(9,2 − 5,2) = 3⁴.

Ответ: 81.

Запишем корни как степени: корень степени n из 36 равен 36^(1/n).

При умножении степеней показатели складываются, при делении — вычитаются.

36^(1/3) · 36^(1/5)/36^(1/30) = 36^(1/3 + 1/5 − 1/30).

1/3 + 1/5 − 1/30 = (10 + 6 − 1)/30 = 1/2.

Получаем 36^(1/2) = √36 = 6.

Ответ: 6.

Используем формулу двойного угла: cos 2α = 2cos²α − 1.

При cos α = −0,8 получаем cos²α = (−0,8)² = 0,64.

3cos 2α = 3 · (2 · 0,64 − 1) = 3 · 0,28 = 0,84.

Ответ: 0,84.

Применим формулу двойного угла: sin 2α = 2 sin α cos α.
При α = 51° получаем sin 102° = 2 sin 51° cos 51° ≠ 0.
14 sin 51° cos 51° / sin 102° = 7 sin 102° / sin 102° = 7.
Ответ: 7.

Представим корни как степени: корень степени n из a равен a^(1/n) при a > 0.
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются.
121^(1/3) · 121^(1/4) / 121^(1/12) = 121^(1/3 + 1/4 − 1/12).
1/3 + 1/4 − 1/12 = (4 + 3 − 1)/12 = 1/2.
121^(1/2) = √121 = 11.
Ответ: 11.

Используем правила: (ab)² = a²b² и (√a)² = a при a ≥ 0.
(5√6)² = 5² · (√6)² = 25 · 6 = 150.
(5√6)² / 10 = 150/10 = 15.
Ответ: 15.

Вынесем 3√3 и применим формулу 1 − 2 sin² α = cos 2α.
3√3 − 6√3 sin²(13π/12) = 3√3 cos(13π/6).
По периодичности косинуса cos(13π/6) = cos(2π + π/6) = cos(π/6) = √3/2.
3√3 · √3/2 = 9/2 = 4,5.
Ответ: 4,5.

Применим формулу двойного угла: cos² α − sin² α = cos 2α.
4√3 cos²(23π/12) − 4√3 sin²(23π/12) = 4√3 cos(23π/6).
По периодичности и чётности косинуса cos(23π/6) = cos(4π − π/6) = cos(−π/6) = √3/2.
4√3 · √3/2 = 6.
Ответ: 6.

Применим формулы двойного угла и приведения:
sin 164° = 2 sin 82° cos 82°, sin 8° = cos 82°.
Тогда 3 sin 164° / (sin 82° · sin 8°) = 6 sin 82° cos 82° / (sin 82° · cos 82°).
Сокращая ненулевые множители, получаем 6.
Ответ: 6.

Применим формулу двойного угла: sin 2α = 2 sin α cos α.
10 sin 72° cos 72° = 5 sin 144°.
Поскольку sin 144° ≠ 0, получаем 5 sin 144° / sin 144° = 5.
Ответ: 5.