а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x.
Используем формулы cos 2x = 2cos²x − 1 и cos(x + π) = −cos x:
2cos²x − 1 − √2 cos x + 1 = 0.
Выносим общий множитель: cos x(2cos x − √2) = 0.
Следовательно, cos x = 0 или cos x = √2/2.
Ответ: x = π/2 + πk, k ∈ Z; x = ±π/4 + 2πk, k ∈ Z.
б) Отберём корни с помощью двойных неравенств.
Для x = π/2 + πk получаем −4π ≤ π/2 + πk ≤ −5π/2, откуда −9/2 ≤ k ≤ −3.
Целые значения: k = −4, −3. Получаем x = −7π/2 и x = −5π/2.
Для x = π/4 + 2πk получаем −4π ≤ π/4 + 2πk ≤ −5π/2, откуда −17/8 ≤ k ≤ −11/8.
Единственное целое значение k = −2 даёт x = −15π/4.
Для x = −π/4 + 2πk получаем −4π ≤ −π/4 + 2πk ≤ −5π/2, откуда −15/8 ≤ k ≤ −9/8. Целых значений k нет.
Ответ: −15π/4; −7π/2; −5π/2.