а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Область определения: x ∈ R.
Используем формулы sin 2x = 2sin x cos x, sin(−x) = −sin x, cos(−x) = cos x.
Исходное уравнение равносильно 2sin x cos x − 2sin x + cos x − 1 = 0.
Группируя слагаемые, получаем 2sin x(cos x − 1) + (cos x − 1) = 0.
Следовательно, (cos x − 1)(2sin x + 1) = 0.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда cos x = 1 или sin x = −1/2.
Первое уравнение даёт x = 2πk, k ∈ Z; второе — x = −π/6 + 2πk или x = −5π/6 + 2πk, k ∈ Z.
Ответ а): 2πk; −π/6 + 2πk; −5π/6 + 2πk, k ∈ Z.
б) Для каждой серии потребуем 2π ≤ x ≤ 7π/2.
Для x = 2πk получаем 1 ≤ k ≤ 7/4. Поэтому k = 1 и x = 2π.
Для x = −π/6 + 2πk получаем 13/12 ≤ k ≤ 11/6. Целых значений k нет.
Для x = −5π/6 + 2πk получаем 17/12 ≤ k ≤ 13/6. Поэтому k = 2 и x = 19π/6.
Таким образом, отобраны все корни на заданном отрезке.
Ответ б): 2π; 19π/6.