а) Решите уравнение
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех x ∈ R.
По формуле приведения sin(x + 3π/2) = −cos x, поэтому sin²(x + 3π/2) = cos²x. Также sin 2x = 2sin x cos x.
Исходное уравнение равносильно уравнению 2√3 cos²x + 2sin x cos x = 0.
Выносим общий множитель: 2cos x(√3 cos x + sin x) = 0.
Следовательно, cos x = 0 или sin x + √3 cos x = 0.
Первое уравнение даёт x = π/2 + πk, k ∈ Z.
Во втором уравнении cos x ≠ 0: иначе sin x = ±1 и равенство невозможно. Делим на cos x и получаем tg x = −√3, откуда x = −π/3 + πk, k ∈ Z.
Ответ: x = π/2 + πk; x = −π/3 + πk, k ∈ Z.
б) Для каждой серии решим двойное неравенство −4π ≤ x ≤ −5π/2.
Для x = π/2 + πk получаем −4π ≤ π/2 + πk ≤ −5π/2, откуда −9/2 ≤ k ≤ −3. Целые значения: k = −4 и k = −3.
Им соответствуют корни −7π/2 и −5π/2.
Для x = −π/3 + πk получаем −4π ≤ −π/3 + πk ≤ −5π/2, откуда −11/3 ≤ k ≤ −13/6. Единственное целое k = −3, поэтому x = −10π/3.
Ответ: −7π/2; −10π/3; −5π/2.