Задание 14 ЕГЭ по профильной математике № M27-37

а) По формулам косинуса суммы и приведения: $4\cos (x+\frac{\pi }{4})=2\sqrt{2}\cos x-2\sqrt{2}\sin x$, $\cos (\pi -x)=-\cos x$.

Подставим: $2\sqrt{2}\cos x-2\sqrt{2}\sin x-2\sqrt{2}\cos x=2$, то есть $-2\sqrt{2}\sin x=2$, $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$x=-\frac{\pi }{4}+2\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$, или $x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $[\frac{17\pi }{2};10\pi ]$ — это от $\mathrm{8,5}\pi$ до $10\pi$. В него попадают $-\frac{3\pi }{4}+10\pi =\frac{37\pi }{4}$ и $-\frac{\pi }{4}+10\pi =\frac{39\pi }{4}$; соседние корни ($\frac{31\pi }{4}$, $\frac{45\pi }{4}$ и т. д.) лежат вне отрезка.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{4}+2\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$; $-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{37\pi }{4}$; $\frac{39\pi }{4}$.