а) Решите уравнение
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x.
Применим формулы sin(π/2 − x) = cos x и sin 2x = 2 sin x cos x.
Получаем равносильное уравнение 2cos² x + 2 sin x cos x = 0.
Вынесем общий множитель: 2 cos x(cos x + sin x) = 0.
Произведение равно нулю, если cos x = 0 или cos x + sin x = 0.
Из cos x = 0 получаем x = π/2 + πk, k ∈ Z.
Во втором случае cos x ≠ 0: иначе sin x = ±1 и сумма cos x + sin x не равна нулю. Поэтому деление на cos x даёт равносильное уравнение tg x = −1.
Следовательно, x = −π/4 + πk, k ∈ Z.
Ответ: x = π/2 + πk или x = −π/4 + πk, k ∈ Z.
б) Для первой серии запишем 3π ≤ π/2 + πk ≤ 9π/2.
Вычитая π/2 и деля на π > 0, получаем 5/2 ≤ k ≤ 4. Значит, k = 3 или k = 4, что даёт x = 7π/2 или x = 9π/2.
Для второй серии: 3π ≤ −π/4 + πk ≤ 9π/2.
Прибавляя π/4 и деля на π > 0, получаем 13/4 ≤ k ≤ 19/4. Единственное целое значение — k = 4, поэтому x = 15π/4.
Ответ: 7π/2; 15π/4; 9π/2.