а) Решите уравнение
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x.
По формуле синуса суммы: 2sin(x + π/3) = sin x + √3 cos x.
Подставим это выражение и сократим одинаковые слагаемые: sin x + cos 2x = 1.
Используя cos 2x = 1 − 2sin²x, получаем равносильное уравнение sin x − 2sin²x = 0.
Разложим на множители: sin x(1 − 2sin x) = 0.
Следовательно, sin x = 0 или sin x = 1/2.
Первое уравнение даёт x = πk; второе — x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, где k ∈ Z.
Ответ а): πk, k ∈ Z; π/6 + 2πk, k ∈ Z; 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.
б) Для каждой серии решим двойное неравенство −3π ≤ x ≤ −3π/2.
Для x = πk получаем −3 ≤ k ≤ −3/2. Целые значения k = −3 и k = −2 дают корни −3π и −2π.
Для x = π/6 + 2πk получаем −19/12 ≤ k ≤ −5/6. Единственное целое значение k = −1 даёт x = −11π/6.
Для x = 5π/6 + 2πk получаем −23/12 ≤ k ≤ −7/6. Целых значений k нет.
Ответ б): −3π; −2π; −11π/6.