а) Решите уравнение
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Область определения: x ∈ R.
По формуле приведения sin(x + π) = −sin x исходное уравнение равносильно:
16^(sin x) + 16^(−sin x) = 17/4.
Положим t = 16^(sin x), t > 0. Тогда t + 1/t = 17/4.
Умножая на 4t ≠ 0, получаем 4t² − 17t + 4 = 0, или (4t − 1)(t − 4) = 0.
Следовательно, t = 1/4 или t = 4. Поскольку 1/4 = 16^(−1/2), а 4 = 16^(1/2), получаем sin x = −1/2 или sin x = 1/2.
Объединяя решения этих простейших тригонометрических уравнений, находим x = ±π/6 + πk, k ∈ Z.
Ответ а): ±π/6 + πk, k ∈ Z.
б) Отберём корни с помощью двойных неравенств.
Для x = π/6 + πk условие 3π/2 ≤ π/6 + πk ≤ 3π равносильно 4/3 ≤ k ≤ 17/6.
Единственное целое значение — k = 2, откуда x = 13π/6.
Для x = −π/6 + πk условие 3π/2 ≤ −π/6 + πk ≤ 3π равносильно 5/3 ≤ k ≤ 19/6.
Целые значения k = 2 и k = 3 дают x = 11π/6 и x = 17π/6.
Ответ б): 11π/6; 13π/6; 17π/6.