а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x.
По формулам сложения и приведения cos(x + π/4) = (√2/2)(cos x − sin x), cos(π − x) = −cos x.
Подставим эти выражения в уравнение:
2√2(cos x − sin x) − 2√2 cos x = 2.
После приведения подобных слагаемых получаем −2√2 sin x = 2, откуда sin x = −√2/2.
Ответ: x = −π/4 + 2πk или x = −3π/4 + 2πk, k ∈ Z.
б) Отберём корни с помощью двойных неравенств.
Для первой серии: 17π/2 ≤ −π/4 + 2πk ≤ 10π.
Прибавив π/4 и разделив на 2π > 0, получаем 35/8 ≤ k ≤ 41/8. Единственное целое значение — k = 5, поэтому x = 39π/4.
Для второй серии: 17π/2 ≤ −3π/4 + 2πk ≤ 10π.
Прибавив 3π/4 и разделив на 2π > 0, получаем 37/8 ≤ k ≤ 43/8. Единственное целое значение — k = 5, поэтому x = 37π/4.
Ответ: 37π/4; 39π/4.