Задание 8 ЕГЭ по базовой математике

Пусть x — число людей, пользующихся обеими сетями. Всего пользуются хотя бы одной сетью 15 + 10 − x человек, а таких не может быть больше 20, значит x ≥ 5; также x ≤ 10.

• 1 — верно: обеими сетями пользуются как минимум 5 человек, значит найдутся хотя бы 3.

• 2 — неверно: хотя бы одной сетью пользуются не менее 15 человек, поэтому обеими не пользуются не более 5.

• 3 — верно: число пользователей обеих сетей не больше 10, поскольку «ВКонтакте» пользуются 10 человек.

• 4 — неверно: из условия не следует, что все 15 пользователей «Одноклассников» пользуются только этой сетью.

Ответ: 13.

Проверим, что обязательно следует из количества печений с каждой посыпкой.

• 1) Верно: корицей посыпаны 10 печений, поэтому без корицы остаются 30; среди них сахаром посыпаны не более 20, значит ничем посыпаны не менее 10. Семь таких печений найдётся.

• 2) Неверно: печений с обеими посыпками может не быть вовсе.

• 3) Неверно: сахаром могут быть посыпаны печенья без корицы.

• 4) Верно: одновременно корицей посыпаны не более 10 печений, поэтому 14 таких печений быть не может.

Ответ: 14.

Пересечение множеств знающих английский и немецкий содержит как минимум 40 + 20 − 50 = 10 сотрудников.

• 1) Верно: вместе оба языка знают не меньше 10 человек, значит, хотя бы три.

• 2) Неверно: пересечение не может быть пустым.

• 3) Неверно: не все знающие английский обязаны знать немецкий.

• 4) Верно: оба языка знают не больше 20 человек — столько всего знают немецкий.

Ответ: 14

Всего 45 кексов; 15 посыпаны кокосовой стружкой и 25 — сахарной пудрой. Минимальное число кексов с обеими посыпками равно 15 + 25 − 45 = 0, максимальное — 15.

• 1) Неверно: 16 кексов с обеими посыпками быть не может.

• 2) Верно: даже если все 15 кексов с кокосом также посыпаны сахаром, сахаром посыпаны только 25, поэтому хотя бы 45 − 15 − 25 = 5 кексов останутся без обеих посыпок; значит, найдутся и 4 таких кекса.

• 3) Верно: одновременно обеими посыпками можно покрыть не больше 15 кексов, следовательно, не больше 20.

• 4) Неверно: сахарной пудрой посыпаны 25 кексов, а кокосовой стружкой — лишь 15; условие не требует, чтобы все первые были среди вторых.

Ответ: 23.

Всего есть 15 шариков: 8 жёлтых и 7 зелёных. Рисунок получили 3 шарика.

• 1) Верно: без рисунка остались 12 шариков, а зелёных всего 7. Даже если все 7 зелёных получили рисунок, останутся зелёные без рисунков; в частности, не менее 4.

• 2) Верно: рисунки есть только на трёх шариках, поэтому пяти жёлтых шариков с рисунками быть не может.

• 3) Неверно: рисунки могли быть нарисованы только на зелёных шариках.

• 4) Неверно: рисунки есть всего на трёх шариках, поэтому четырёх жёлтых шариков с рисунками быть не может.

Ответ: 12.

На рисунки Оля выберет 3 шарика, значит, 17 останутся без рисунков. Синих шариков всего 7, а рисунки есть только на трёх шариках, поэтому как минимум 4 синих останутся без рисунков: утверждение 2 верно. На трёх шариках нельзя разместить рисунки на пяти синих, поэтому верно и утверждение 4. Утверждения 1 и 3 не обязательны: рисунки могут быть на синих шариках, а красные шарики могут остаться без рисунков.

Ответ: 24

Если кошка идёт по забору, Шарик обязательно лает. Проверим, какие утверждения следуют из этого условия.

• 1) Верно: если Шарик молчит, кошка по забору не идёт; иначе он обязательно лаял бы.

• 2) Неверно: из того, что Шарик не лает, нельзя заключить, что кошка идёт по забору.

• 3) Неверно: при любой кошке на заборе, в том числе рыжей, Шарик должен лаять.

• 4) Верно: белая кошка — это кошка, поэтому, если она пойдёт по забору, Шарик будет лаять.

Ответ: 14

Если сложить число участников двух кружков, получим 20 + 16 = 36. В классе всего 28 человек, поэтому как минимум 36 − 28 = 8 человек посещают оба кружка.

• 1) Верно: оба кружка посещают не менее 8 человек, значит, как минимум трое.

• 2) Неверно: часть участников биологического кружка может не ходить на географию.

• 3) Неверно: в классе 28 человек, а в биологический кружок ходят только 20.

• 4) Верно: оба кружка не могут посещать 18 человек, поскольку их не более 16.

Ответ: 14

Из условий следует: Канада завоевала больше медалей, чем Нидерланды, Бельгия завоевала меньше, чем Нидерланды, а Швейцария — меньше, чем Канада.

• 1) Неверно: Бельгия уступает Нидерландам, а Нидерланды уступают Канаде; её место не обязано быть вторым.

• 2) Верно: Бельгия уступает Нидерландам, которые уступают Канаде, значит, Бельгия уступает Канаде.

• 3) Неверно: из условий не следует, что у каких-либо трёх сборных одинаковое число медалей.

• 4) Верно: Канада опережает Нидерланды и Бельгию, а также Швейцарию.

Ответ: 24.

Ясень на 1 м ниже берёзы и на 2 м выше осины, значит, порядок высот такой: берёза, ясень, осина. Поэтому утверждение 1 неверно. Если другое дерево ниже ясеня, оно тем более ниже берёзы, так что утверждение 2 верно. Утверждение 3 неверно: дерево может быть ниже берёзы, но выше ясеня. Все три указанных дерева разной высоты, поэтому верно и утверждение 4.

Ответ: 24

Известно: принтер дороже компьютера, а доска дешевле компьютера и стола. Поэтому доска дешевле компьютера, а принтер дороже доски.

• 1) Неверно: компьютер дороже доски.

• 2) Верно: принтер дороже компьютера, а компьютер дороже доски.

• 3) Верно: доска дешевле компьютера, принтера и стола.

• 4) Неверно: принтер дороже компьютера, а доска дешевле компьютера.

Ответ: 23

Задание проверяет сравнение возрастов и выводы из данных разностей. Если возраст Кати обозначить за x, то Маше x + 2 года, а Алисе x + 3 года.

• 1) Неверно: другая девочка может быть старше Кати, но младше Маши.

• 2) Верно: из указанных девочек Маша и Алиса старше Кати, а Катя не младше самой себя.

• 3) Верно: если девочка старше Маши, то она тем более старше Кати.

• 4) Неверно: Алиса старше Кати на 3 года.

Ответ: 23

Задание проверяет, как из условий определить истинность утверждений.

1) Верно: отдыхавшие в Сочи не отдыхали в Крыму, значит, никто не был в обоих местах. 2) Верно: некоторые сотрудники отдыхали в Крыму и по условию не в Сочи. 3) Неверно: условие не утверждает, что каждый сотрудник отдыхал в Крыму. 4) Неверно: отдых в Крыму не означает отдых в Сочи.

Ответ: 12.

Проверяем, какие утверждения обязательно следуют из количества шариков и рисунков.

• 1) Верно: зелёных шариков 15 − 8 = 7, а рисунки есть только на трёх шариках, значит без рисунков останется не меньше четырёх зелёных.

• 2) Верно: рисунки есть всего на трёх шариках, поэтому пяти жёлтых шариков с рисунками быть не может.

• 3) Неверно: рисунки могли оказаться только на зелёных шариках.

• 4) Неверно: рисунков всего три, значит четырёх жёлтых шариков с рисунками быть не может.

Ответ: 12

Если сотрудник не отдыхал на море, то по условию он отдыхал на даче. Значит, каждый сотрудник отдыхал хотя бы в одном из этих мест.

• 1) Верно: каждый отдыхал на даче или на море, возможно, в обоих местах.

• 2) Неверно: из отдыха не на даче не следует, что сотрудник не был на море.

• 3) Неверно: условие ничего не сообщает о Татьяне, если она не сотрудница фирмы.

• 4) Верно: сотрудник, не отдыхавший на даче, не мог не отдыхать на море, иначе он отдыхал бы на даче.

Ответ: 14.

По условиям число медалей у сборных расположено так: Россия больше Канады, а Канада больше Германии и Норвегии.

• 1) Верно: Канада уступает России и превосходит две другие сборные, значит, занимает второе место.

• 2) Неверно: равенство числа медалей не следует из условий.

• 3) Неверно: Германия завоевала меньше медалей, чем Россия.

• 4) Верно: Россия опережает Канаду, а через неё — Германию и Норвегию.

Ответ: 14.

Самый низкий балл равен 28, а самый высокий — 83. 1) Верно: максимальный балл 83 означает, что хотя бы один выпускник получил 83 балла. 2) Неверно: раз минимальный и максимальный баллы различаются, все двадцать баллов не могут быть равными. 3) Неверно: максимальный балл равен 83, поэтому балла 100 среди результатов нет. 4) Верно: каждый балл не ниже минимального, то есть не ниже 28, а значит, и не ниже 27. Ответ: 14.

Из 40 студентов 25 сдали каждый из зачётов. Обозначим число сдавших оба зачёта через x. Тогда x не меньше 25 + 25 − 40 = 10 и не больше 25.

• 1) Неверно: не сдавших ни одного может быть не более 15, поскольку как минимум 25 сдали хотя бы один зачёт.

• 2) Неверно: число сдавших только философию равно 25 − x и не превышает 15.

• 3) Верно: оба зачёта сдали не больше 25 студентов.

• 4) Верно: оба зачёта сдали хотя бы 10 студентов.

Ответ: 34

Тема: логика — проверка утверждений по условиям.

Сотрудники, отдыхавшие в Сочи, не отдыхали в Крыму, поэтому одновременно в обоих местах не отдыхал никто: утверждение 1 верно. В Крыму отдыхали некоторые сотрудники, и они не отдыхали в Сочи, значит утверждение 2 тоже верно. Утверждения 3 и 4 из условий не следуют.

Ответ: 12.

Проверяем, что обязательно следует из условий: отдыхавшие в Сочи не отдыхали в Крыму.

• 1) Неверно: отдых в Крыму не означает, что сотрудник был в Сочи.

• 2) Неверно: сказано лишь, что в Крыму отдыхали некоторые сотрудники.

• 3) Верно: в Крыму отдыхали некоторые сотрудники, и они не отдыхали в Сочи.

• 4) Верно: одновременно отдыхать в Крыму и Сочи нельзя.

Ответ: 34.