Практическая планиметрия · 251 задание ФИПИ с ответами
На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,6 м, если длина его тени равна 2 м, высота фонаря 4 м?
Задание проверяет применение подобия треугольников к вычислению расстояний. Обозначим расстояние от фонаря до человека через x м; тогда расстояние от фонаря до конца тени равно (x + 2) м. Прямоугольные треугольники подобны по двум углам, поэтому (x + 2)/2 = 4/1,6. Получаем x + 2 = 5, откуда x = 3 м. Ответ: 3.
Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 60 см, а ширина экрана 48 см. Найдите высоту экрана. Ответ дайте в сантиметрах.
Задание проверяет применение теоремы Пифагора. Стороны прямоугольного экрана и его диагональ образуют прямоугольный треугольник, в котором диагональ — гипотенуза. Высота экрана равна √(60² − 48²) = √1296 = 36 см. Ответ: 36.
Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3,4 м и 3,2 м?
Задание проверяет умение рассчитывать количество плиток для облицовки прямоугольника. Сторона плитки равна 20 см = 0,2 м. Вдоль одной стороны стены поместится 3,4/0,2 = 17 плиток, вдоль другой — 3,2/0,2 = 16 плиток. Значит, потребуется 17 · 16 = 272 плитки.
Ответ: 272.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
| Квартира состоит из комнаты, кухни, коридора и санузла (см. чертёж). Комната имеет размеры санузел длина коридора 5,5 м. Найдите площадь кухни (в квадратных метрах). |
|
Задание проверяет умение определять размеры по плану и находить площадь прямоугольника.
По чертежу общая ширина квартиры равна сумме ширины санузла и длины коридора: 2 + 5,5 = 7,5 м.
Ширина кухни равна 7,5 − 4 = 3,5 м, а её другая сторона совпадает по длине со стороной комнаты и равна 4 м.
Площадь кухни: S = 3,5 · 4 = 14 м².
Ответ: 14.
Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 58 см, а высота экрана 40 см. Найдите ширину экрана. Ответ дайте в сантиметрах.
Задание проверяет применение теоремы Пифагора к прямоугольнику.
Ширина и высота экрана — катеты прямоугольного треугольника, а диагональ — его гипотенуза.
По теореме Пифагора ширина равна √(58² − 40²) = √(3364 − 1600) = √1764 = 42 см.
Ответ: 42.
На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 21,2 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 4,3 м,
а длина 5 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается от площади, указанной на плане?
Задание проверяет вычисление площади прямоугольника и сравнение величин.
Для прямоугольной комнаты используем формулу S = a · b.
По точным измерениям площадь равна 4,3 · 5 = 21,5 м².
Разница с площадью на плане составляет 21,5 − 21,2 = 0,3 м².
Ответ: 0,3.
Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны 30 м и 45 м. Найдите длину забора (в метрах), которым нужно огородить участок, предусмотрев проезд шириной 3 м.
Задание проверяет вычисление периметра прямоугольного участка. Периметр равен P = 2 · (30 + 45) = 150 м. Из периметра вычитаем ширину проезда: 150 − 3 = 147 м забора. Ответ: 147.
Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 50 см, а ширина экрана 40 см. Найдите высоту экрана. Ответ дайте в сантиметрах.
Задание проверяет применение теоремы Пифагора для нахождения стороны прямоугольника. Диагональ экрана является гипотенузой, а его ширина и высота — катетами. Высота равна √(50² − 40²) = √(2500 − 1600) = √900 = 30 см.
Ответ: 30.
Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту l этого столба, если высота h горки равна 2,4 м. Ответ дайте в метрах.
Задание проверяет применение свойства средней линии треугольника.
Столб проходит через середину наклонной стороны горки и параллелен вертикальной стороне треугольника.
Поэтому он является средней линией и его высота равна половине высоты горки: l = h/2 = 2,4/2 = 1,2 м.
Ответ: 1,2.
Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3,4 м и 4,2 м?
На рисунке показано, как выглядит колесо с 7 спицами. Сколько будет спиц в колесе, если угол между любыми двумя соседними спицами в нём будет равен 15°?
Задание проверяет применение величины полного угла для подсчёта спиц. Вокруг центра колеса сумма углов между соседними спицами равна 360°. Число таких углов равно числу спиц, поэтому получаем 360°/15° = 24 спицы. Ответ: 24.
| Дачный участок имеет форму прямоугольника |
|
Задание проверяет умение находить площади прямоугольника и квадрата.
Площадь всего участка равна 25 · 15 = 375 м².
Площадь квадратного вольера равна 8² = 64 м².
Площадь оставшейся части участка: 375 − 64 = 311 м².
Ответ: 311.
Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 4 м и 6 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 30 см. Сколько потребуется таких дощечек?
Задание проверяет применение площади прямоугольника к расчёту количества материала.
Площадь пола S = 4 · 6 = 24 м².
Размеры дощечки равны 0,1 м и 0,3 м, поэтому её площадь составляет 0,1 · 0,3 = 0,03 м².
Потребуется 24 : 0,03 = 800 дощечек; вдоль сторон комнаты можно уложить 40 и 20 дощечек соответственно.
Ответ: 800.
| Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h1 перил равна 1,25 м, а наибольшая высота h2 равна 2,25 м. Ответ дайте в метрах. |
|
Задание проверяет применение свойства средней линии трапеции.
Вертикальные отрезки высотой 1,25 м и 2,25 м параллельны и являются основаниями трапеции на рисунке.
Столб проходит через середину перил параллельно основаниям, поэтому его высота равна их полусумме.
l = (1,25 + 2,25)/2 = 1,75 м.
Ответ: 1,75.
| Вертикальный столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту l этого столба, если высота h горки равна 3,6 м. Ответ дайте в метрах. |
|
Задание проверяет применение свойств треугольника в практической ситуации.
Столб параллелен вертикальной стороне горки и проходит через середину её наклонной стороны, поэтому является средней линией треугольника.
Средняя линия равна половине параллельной ей стороны: l = h/2 = 3,6/2 = 1,8 м.
Ответ: 1,8.
Колесо имеет 5 спиц. Углы между любыми двумя соседними спицами равны. Найдите величину угла
(в градусах), который образуют две соседние спицы.
Задание проверяет знание величины полного угла.
Пять спиц делят полный угол 360° на пять равных углов.
Угол между соседними спицами равен 360°/5 = 72°.
Ответ: 72.
| Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 80 см, |
|
Задание проверяет применение теоремы Пифагора к прямоугольному экрану. Его ширина и высота — катеты, а диагональ — гипотенуза прямоугольного треугольника. Поэтому высота равна √(80² − 64²) = √(6400 − 4096) = √2304 = 48 см. Ответ: 48.
Человек стоит на расстоянии 4,2 м от столба, на котором висит фонарь, расположенный на высоте 6 м. Тень человека равна 1,8 м. Какого роста человек (в метрах)?
Задание проверяет применение подобия треугольников для определения роста человека. Расстояние от основания столба до конца тени равно 4,2 + 1,8 = 6 м. Треугольники, образованные столбом и человеком с их тенями, подобны по двум углам: прямому и общему углу при конце тени. Поэтому h/1,8 = 6/6, откуда h = 1,8 м. Ответ: 1,8.
Квартира состоит из комнаты, кухни, коридора и санузла (см. чертёж). Кухня имеет размеры санузел длина комнаты 4,5 м. Найдите площадь коридора (в квадратных метрах).
Задание проверяет умение находить размеры по плану и вычислять площадь прямоугольника.
Общая ширина квартиры равна сумме ширины кухни и длины комнаты: 3 + 4,5 = 7,5 м.
Длина коридора равна 7,5 − 2 = 5,5 м, а его ширина по рисунку равна 2 м.
Площадь коридора: S = 5,5 · 2 = 11 м².
Ответ: 11.
Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h1 перил равна 2,1 м, а наибольшая
высота h2 равна 3,1 м. Ответ дайте в метрах.
Задание проверяет применение свойств трапеции к нахождению высоты столба.
Вертикальные отрезки высотой h₁ и h₂ — параллельные основания трапеции, а столб посередине — её средняя линия.
Длина средней линии равна полусумме оснований: l = (h₁ + h₂)/2 = (2,1 + 3,1)/2 = 2,6 м.
Ответ: 2,6.
