Практическая планиметрия · 251 задание ФИПИ с ответами
Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h1 перил равна 1,8 м, а наибольшая
высота h2 равна 2,8 м. Ответ дайте в метрах.
Задание проверяет применение свойств трапеции к практической задаче. Вертикальный столб посередине перил является средней линией трапеции, поэтому его высота равна полусумме высот крайних опор. Получаем l = (1,8 + 2,8)/2 = 2,3 м. Ответ: 2,3.
Квартира состоит из двух комнат, кухни, коридора и санузла (см. рисунок). Первая комната имеет размеры , вторая , санузел имеет размеры , длина коридора 10,5 м. Найдите площадь кухни (в квадратных метрах).
Задание проверяет вычисление площади прямоугольника по плану квартиры. По рисунку общая ширина квартиры равна сумме длины коридора и ширины санузла: 10,5 + 1,5 = 12 м. Ширина кухни равна 12 − 4,5 − 4 = 3,5 м, а её другая сторона равна 4 м. Площадь кухни S = 3,5 · 4 = 14 м². Ответ: 14.
Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3,4 м и 4,8 м?
Задание проверяет вычисление количества квадратных плиток для прямоугольной поверхности.
Переведём размеры стены в сантиметры: 3,4 м = 340 см, 4,8 м = 480 см.
Вдоль одной стороны поместится 340 : 20 = 17 плиток, вдоль другой — 480 : 20 = 24 плитки.
Всего потребуется 17 · 24 = 408 плиток.
Ответ: 408.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны 35 м и 75 м. Найдите длину забора (в метрах), которым нужно обнести участок, предусмотрев проезд шириной 4 м.
Задание проверяет вычисление длины забора по периметру прямоугольника.
Периметр участка: P = 2 · (35 + 75) = 220 м.
В месте проезда забор не устанавливают, поэтому его ширину нужно вычесть: 220 − 4 = 216 м.
Ответ: 216.
Квартира состоит из двух комнат, кухни, коридора и санузла (см. чертёж). Первая комната имеет размеры ,
вторая , кухня имеет размеры , санузел . Найдите площадь коридора (в квадратных метрах).
Задание проверяет умение вычислять площадь части квартиры по чертежу.
Нижняя полоса имеет длину 3,5 + 4 + 3,5 = 11 м и ширину 1,5 м.
Чтобы получить площадь коридора, из площади полосы вычитаем площадь санузла: 11 · 1,5 − 1,5 · 2 = 13,5 м².
Ответ: 13,5.
Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3 м и 4,4 м?
Задание проверяет вычисление площади прямоугольника и перевод единиц длины.
Сторона плитки равна 20 см = 0,2 м, поэтому её площадь S = 0,2² = 0,04 м².
Площадь стены равна 3 · 4,4 = 13,2 м².
Потребуется 13,2 : 0,04 = 330 плиток; вдоль сторон стены укладываются ровно 15 и 22 плитки.
Ответ: 330.
Пожарную лестницу длиной 10 м приставили к стене дома. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 6 м. На какой высоте находится верхний конец лестницы? Ответ дайте в метрах.
Задание проверяет применение теоремы Пифагора для нахождения высоты.
Стена и земля образуют прямой угол, поэтому лестница является гипотенузой прямоугольного треугольника.
Искомая высота h = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8 м.
Ответ: 8.
Квартира состоит из двух комнат, кухни, коридора и санузла (см. чертёж). Кухня имеет размеры первая комната санузел имеет размеры длина коридора 10 м. Найдите площадь второй комнаты (в квадратных метрах).
Задание проверяет чтение плана и вычисление площади прямоугольника.
По чертежу общая ширина квартиры равна сумме ширины санузла и длины коридора: 2 + 10 = 12 м.
Ширина второй комнаты равна 12 − 3,5 − 4 = 4,5 м.
Её другая сторона равна 4 м, поэтому площадь S = 4,5 · 4 = 18 м².
Ответ: 18.
Дачный участок имеет форму прямоугольника
со сторонами 22 м и 30 м. Хозяин планирует обнести участок забором и разделить его таким же забором на две части, одна из которых имеет форму квадрата. Найдите суммарную длину забора в метрах.
Задание проверяет вычисление общей длины внешнего забора и внутренней перегородки.
Периметр участка: P = 2(a + b) = 2 · (22 + 30) = 104 м.
Чтобы отделить квадрат со стороной 22 м, нужна перегородка длиной 22 м.
Суммарная длина забора: 104 + 22 = 126 м; внутреннюю перегородку учитываем один раз.
Ответ: 126.
Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h1 перил равна 1,05 м, а наибольшая высота h2 равна 2,05 м. Ответ дайте в метрах.
Задание проверяет применение свойства средней линии трапеции.
Вертикальные опоры высотой h₁ и h₂ параллельны, а столб посередине является средней линией трапеции.
Его высота равна полусумме высот крайних опор: l = (h₁ + h₂)/2.
Получаем l = (1,05 + 2,05)/2 = 1,55 м.
Ответ: 1,55.
Человек, рост которого равен 1,8 м, стоит на расстоянии 11 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 9 м. Определите высоту фонаря (в метрах).
Задание проверяет применение подобия треугольников для определения высоты.
Расстояние от основания фонаря до конца тени равно 11 + 9 = 20 м.
Треугольники, образованные фонарём и человеком с их тенями, подобны: они прямоугольные и имеют общий угол при конце тени.
Поэтому H/20 = 1,8/9, откуда H = 20 · 1,8/9 = 4 м.
Ответ: 4.
Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 74 см, а высота экрана 24 см. Найдите ширину экрана. Ответ дайте в сантиметрах.
Задание проверяет применение теоремы Пифагора к прямоугольнику. Диагональ экрана является гипотенузой прямоугольного треугольника, а ширина и высота — его катетами. Поэтому ширина равна √(74² − 24²) = √(5476 − 576) = √4900 = 70 см. Ответ: 70.
Участок земли для строительства санатория имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 1000 м и 600 м. Одна из больших сторон участка идёт вдоль моря, а три остальные стороны нужно огородить забором. Найдите длину этого забора. Ответ дайте в метрах.
Задание проверяет вычисление длины ограждения прямоугольного участка.
Вдоль моря расположена сторона длиной 1000 м, поэтому забор нужен для противоположной стороны и двух сторон по 600 м.
Длина забора равна 1000 + 2 · 600 = 2200 м.
Ответ: 2200.
Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту l этого столба, если высота h горки равна 2,5 м. Ответ дайте в метрах.
Задание проверяет применение свойства средней линии треугольника.
Столб проходит через середину наклонной стороны горки и параллелен её вертикальной стороне.
Он является средней линией треугольника, поэтому l = h/2 = 2,5/2 = 1,25 м.
Ответ: 1,25.
Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h1 перил равна 1,55 м, а наибольшая высота h2 равна 2,55 м. Ответ дайте в метрах.
Задание проверяет применение свойства средней линии трапеции.
Параллельные вертикальные стороны имеют длины h₁ и h₂, а столб посередине является средней линией трапеции.
Его высота равна полусумме этих длин: l = (h₁ + h₂)/2 = (1,55 + 2,55)/2 = 2,05 м.
Ответ: 2,05.
| Дачный участок имеет форму прямоугольника |
|
Задание проверяет умение вычислять общую длину изгороди по плану участка.
Внешняя изгородь имеет длину, равную периметру прямоугольника: P = 2 · (30 + 20) = 100 м.
На рисунке две стороны квадрата совпадают с внешней границей участка, поэтому дополнительно нужны только две стороны по 12 м.
Суммарная длина изгороди: 100 + 2 · 12 = 124 м.
Ответ: 124.
Пять ступеней лестницы покрасили в тёмный цвет, как показано на рисунке (штриховкой). Найдите площадь окрашенной поверхности, если глубина каждой ступеньки равна 15 см, высота — 20 см, а ширина — 75 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Задание проверяет вычисление площади поверхности по площадям прямоугольников.
На рисунке окрашены горизонтальная и вертикальная поверхности каждой из пяти ступеней.
У одной ступени их площади равны 15 · 75 = 1125 см² и 20 · 75 = 1500 см².
Общая площадь окраски составляет 5 · (1125 + 1500) = 13125 см².
Ответ: 13125.
На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 4 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?
Задание проверяет применение пропорциональных отрезков при повороте рычага.
Концы прямого рычага находятся по разные стороны неподвижной опоры, поэтому при подъёме одного другой опускается.
Вертикальные перемещения концов пропорциональны длинам плеч: h / 1 = 6 / 4.
Следовательно, конец длинного плеча опустится на h = 1 · 6 / 4 = 1,5 м.
Ответ: 1,5.
Дачный участок имеет форму квадрата, сторона которого равна 40 м. Дом, расположенный на участке, имеет на плане форму прямоугольника, стороны которого равны 9 м и 8 м. Найдите площадь части участка, не занятой домом. Ответ дайте в квадратных метрах.
Задание проверяет вычисление площадей квадрата и прямоугольника.
Площадь квадратного участка равна квадрату его стороны: S = 40² = 1600 м².
Площадь дома равна произведению его длины и ширины: 9 · 8 = 72 м².
Площадь свободной части участка: 1600 − 72 = 1528 м².
Ответ: 1528.
Квартира состоит из двух комнат, кухни, коридора и санузла (см. чертёж). Кухня имеет размеры вторая комната санузел имеет размеры длина коридора 11 м. Найдите площадь первой комнаты
(в квадратных метрах).
Задание проверяет умение находить размеры и площадь прямоугольной комнаты по плану. По чертежу общая ширина квартиры равна длине коридора плюс ширина санузла: 11 + 1,5 = 12,5 м. Ширина первой комнаты равна 12,5 − 3 − 5,5 = 4 м, а её высота — 4 м. Площадь комнаты: S = 4 · 4 = 16 м². Ответ: 16.
