Задание 20 ЕГЭ по базовой математике

Задание проверяет составление уравнения для смеси. Пусть масса второго сплава равна x кг. Количество никеля до и после смешивания одинаково: 0,5·50 + 0,15x = 0,25(50 + x). Отсюда x = 125 кг; масса первого сплава меньше на 125 − 50 = 75 кг.

Ответ: 75.

Проверяется текстовая задача на среднюю скорость движения. Пусть расстояние в одну сторону равно s км. Общее расстояние — 2s км, а общее время: s/21 + s/273 = 14s/273 ч. Средняя скорость равна 2s : (14s/273) = 39 км/ч.

Ответ: 39.

Задание проверяет решение задач на совместную работу.

За 1 минуту Аня и Таня выполняют 1/24 работы, а Таня одна — 1/36.

Скорость работы Ани равна 1/24 − 1/36 = 1/72 работы в минуту.

Значит, одна Аня пропалывает грядку за 72 минуты.

Ответ: 72.

Задание проверяет текстовую задачу на суммирование последовательных платежей. Стоимость метров образует арифметическую прогрессию: первый член 4300 руб., разность 1300 руб.

За девятый метр заплатят 4300 + 8 · 1300 = 14700 руб. Сумма за 9 метров: (4300 + 14700) · 9 / 2 = 85500 руб.

Ответ: 85500.

Задание проверяет нахождение средней скорости на всём пути. Время на участках: 100/50 = 2 ч, 180/70 = 18/7 ч и 110/110 = 1 ч.

Весь путь равен 390 км, а всё время — 2 + 18/7 + 1 = 39/7 ч. Средняя скорость: 390/(39/7) = 70 км/ч.

Ответ: 70.

Задание проверяет составление уравнения на смеси и проценты. Пусть масса второго сплава равна x кг. По количеству никеля получаем 0,45 · 40 + 0,05x = 0,15(40 + x).

Решение уравнения: 18 + 0,05x = 6 + 0,15x, откуда x = 120 кг. Масса второго сплава больше массы первого на 120 − 40 = 80 кг.

Ответ: 80.

Задание проверяет нахождение средней скорости на всём пути: её вычисляют как общее расстояние, делённое на общее время.

Расстояние: 120 + 140 + 150 = 410 км. Время: 120/60 + 140/80 + 150/120 = 2 + 1,75 + 1,25 = 5 ч.

Средняя скорость: 410/5 = 82 км/ч. Ответ: 82.

Задание проверяет вычисление средней скорости на всём пути.

Общее расстояние: 120 + 200 + 160 = 480 км. Время в пути: 120/60 + 200/100 + 160/120 = 2 + 2 + 4/3 = 16/3 часа.

Средняя скорость равна всему пути, делённому на общее время: 480 ÷ (16/3) = 90 км/ч.

Ответ: 90.

Задание проверяет совместную работу насосов. За минуту первый насос наполняет 1/45 бака, второй — 1/55, третий — 1/66.

Их общая производительность: 1/45 + 1/55 + 1/66 = 1/18 бака в минуту. Значит, на весь бак потребуется 18 минут.

Ответ: 18.

Задание проверяет текстовые задачи на арифметическую прогрессию: оплата за каждый метр увеличивается на 1200 рублей.

Стоимость шести метров: 3900 + 5100 + 6300 + 7500 + 8700 + 9900 = 41400 рублей.

Ответ: 41400.

Задание проверяет нахождение средней скорости на всём пути. Общее расстояние: 140 + 110 + 150 = 400 км. Время в пути: 140/80 + 110/110 + 150/120 = 4 ч, поэтому средняя скорость равна 400/4 = 100 км/ч.

Ответ: 100

Задание проверяет решение задач на совместную работу.

За 1 час первый мастер выполняет 1/30 заказа, второй — 1/15.

Вместе они выполняют 1/30 + 1/15 = 1/10 заказа в час.

Значит, весь заказ они выполнят за 10 часов.

Ответ: 10.

Проверяется задача на движение: скорость равна расстоянию, делённому на время.

Автомобиль из города A проехал до места встречи 350 − 180 = 170 км за 2 часа.

Его скорость: 170 : 2 = 85 км/ч.

Ответ: 85.

Задание проверяет нахождение суммы членов арифметической прогрессии: стоимость каждого следующего метра на 1700 рублей больше.

Седьмой метр стоит 4100 + 6 · 1700 = 14300 рублей. Всего: (4100 + 14300) · 7 / 2 = 64400 рублей.

Ответ: 64400.

Проверяется составление уравнения по движению и связь расстояния, скорости и времени: s = vt.

На спуск ушло 8 часов, значит, на подъём — 11 − 8 = 3 часа. Пусть скорость на подъёме равна v км/ч, тогда на спуске она равна v + 1 км/ч.

Общая длина пути: 3v + 8(v + 1) = 30. Отсюда 11v = 22, v = 2 км/ч, а скорость на спуске — 3 км/ч.

Ответ: 3.

Задача проверяет применение формулы пути s = vt и учёт времени начала движения. За первые 3 часа первый автомобиль проехал 70 · 3 = 210 км, осталось 510 − 210 = 300 км.

После выезда второго автомобиля скорость сближения равна 70 + 80 = 150 км/ч. До встречи проходит 300 / 150 = 2 часа; первый автомобиль к этому моменту едет 5 часов.

Расстояние от города A: 70 · 5 = 350 км. Ответ: 350.

Задание проверяет нахождение средней скорости на всём пути. При равных расстояниях средняя скорость равна 2v₁v₂ / (v₁ + v₂): 2 · 12 · 276 / (12 + 276) = 23 км/ч.

Ответ: 23

Проверяется задача на встречное движение. За первые 2 ч первый автомобиль проехал 55 · 2 = 110 км, поэтому между автомобилями осталось 250 − 110 = 140 км. После выезда второго скорость сближения равна 55 + 85 = 140 км/ч, значит, до встречи пройдёт 1 ч. Первый автомобиль будет в пути 3 ч и проедет 55 · 3 = 165 км.

Ответ: 165.

Задание проверяет расчёт концентрации смеси: находят массу вещества в каждом растворе, складывают её и делят на общий объём.

В первом растворе вещества 3·0,05 = 0,15 л, во втором — 4·0,40 = 1,6 л.

В смеси 1,75 л вещества на 7 л раствора, поэтому концентрация равна 1,75 : 7 · 100% = 25%.

Ответ: 25

Задание проверяет составление уравнения по производительности. Если в тесте x вопросов, Петя затратит x / 12 часов, а Ваня — x / 20 часов.

Петя закончил на 90 минут, то есть на 1,5 часа, позже: x / 12 − x / 20 = 1,5. Тогда x / 30 = 1,5, откуда x = 45.

Ответ: 45.