Текстовая задача · 188 заданий ФИПИ с ответами
Из двух городов, расстояние между которыми равно 420 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 65 км/ч и 75 км/ч?
Задание проверяет решение текстовой задачи на движение. При движении навстречу скорость сближения равна 65 + 75 = 140 км/ч. Время до встречи: 420 : 140 = 3 часа. Ответ: 3.
Рабочий получил задание за 8 полных дней вымостить плиткой парковочную площадку. Однако он выполнил задание не за 8, а за 10 полных дней, так как каждый день отклонялся от нормы на 2 м2. Чему равна площадь парковочной площадки? Ответ дайте в квадратных метрах.
Задание проверяет решение текстовой задачи на производительность. Пусть по плану рабочий должен был укладывать x м² в день, тогда площадь площадки равна 8x.
Фактически он работал 10 дней и каждый день укладывал на 2 м² меньше: 10(x − 2) = 8x. Получаем 2x = 20, x = 10, поэтому площадь равна 8 · 10 = 80 м².
Ответ: 80.
Из городов A и B, расстояние между которыми равно 270 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 2 часа
на расстоянии 160 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.
Задание проверяет задачу на движение. Автомобиль из города A проехал до места встречи 270 − 160 = 110 км за 2 часа. Его скорость равна v = s/t = 110/2 = 55 км/ч.
Ответ: 55.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
Пешеход и велосипедист одновременно отправились из посёлков, расстояние между которыми 28 км, навстречу друг другу. Они встретились через 2 часа. Скорость велосипедиста на 6 км/ч больше скорости пешехода. Найдите скорость пешехода. Ответ дайте в км/ч.
Задание проверяет решение текстовой задачи на движение. За 2 часа пешеход и велосипедист вместе прошли 28 км, значит сумма их скоростей равна 28 / 2 = 14 км/ч.
Пусть скорость пешехода равна v км/ч, тогда скорость велосипедиста равна (v + 6) км/ч. Уравнение v + (v + 6) = 14 даёт v = 4 км/ч.
Ответ: 4.
Первые 200 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 140 км — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Задание проверяет решение текстовой задачи на среднюю скорость.
Средняя скорость равна всему пути, делённому на всё время: v = s/t.
Время в пути: 200/60 + 180/90 + 140/120 = 10/3 + 2 + 7/6 = 13/2 ч. Весь путь: 200 + 180 + 140 = 520 км.
Средняя скорость: 520/(13/2) = 80 км/ч.
Ответ: 80.
Два человека одновременно отправляются из одного дома на прогулку
до опушки леса, находящейся в 6,3 км от дома. Один идёт со скоростью 2,5 км/ч, а другой со скоростью 3,8 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от дома произойдёт их встреча? Ответ дайте в километрах.
Первые 140 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 160 км — со скоростью 60 км/ч, а затем 120 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Проверяется решение текстовой задачи на среднюю скорость.
Время на участках: 140/50 = 2,8 ч, 160/60 = 8/3 ч и 120/100 = 1,2 ч.
Общий путь — 420 км, общее время — 20/3 ч. Средняя скорость равна 420/(20/3) = 63 км/ч.
Ответ: 63.
Первые 140 км автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 120 км — со скоростью 80 км/ч, а затем 180 км — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Задание проверяет нахождение средней скорости по расстоянию и времени движения.
Общий путь: 140 + 120 + 180 = 440 км. Время на участках: 140/70 = 2 ч, 120/80 = 1,5 ч и 180/120 = 1,5 ч.
Средняя скорость равна общему пути, делённому на общее время: 440 ÷ 5 = 88 км/ч.
Ответ: 88.
Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3600 рублей, а за каждый следующий метр на 1400 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной
8 метров?
Задание проверяет применение арифметической прогрессии. Плата за метры образует последовательность с первым членом 3600 рублей и разностью 1400 рублей. За восьмой метр заплатят 3600 + 7 · 1400 = 13 400 рублей. Общая плата за 8 метров равна (3600 + 13 400) · 8 : 2 = 68 000 рублей. Ответ: 68000.
Валя и Галя, работая вместе, пропалывают грядку за 12 минут, а одна Галя пропалывает эту же грядку за 84 минуты. За сколько минут пропалывает эту грядку одна Валя?
Задание проверяет решение задачи на совместную работу. Вместе Валя и Галя выполняют за минуту 1/12 работы, а Галя одна — 1/84.
Скорость работы Вали: 1/12 − 1/84 = 7/84 − 1/84 = 1/14 работы в минуту. Значит, всю грядку она пропалывает за 14 минут.
Ответ: 14.
Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 17 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 272 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Задача проверяет нахождение средней скорости на всём пути. Пусть расстояние в одну сторону равно s км; тогда общий путь равен 2s, а общее время — s/17 + s/272 часов.
Средняя скорость равна 2s/(s/17 + s/272) = 32 км/ч.
Ответ: 32.
Имеется два сплава. Первый содержит 15 % никеля, второй 45 % никеля.
Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 35 % никеля. Масса первого сплава равна 45 кг. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго сплава?
Проверяется решение задачи на смеси и проценты. В первом сплаве 45 · 0,15 = 6,75 кг никеля. Пусть масса второго сплава равна x кг; тогда 6,75 + 0,45x = 0,35(45 + x). Отсюда x = 90 кг, поэтому масса первого сплава меньше на 90 − 45 = 45 кг.
Ответ: 45.
Расстояние между городами A и B равно 290 км. Из города A в город B
со скоростью 55 км/ч выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 70 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города A автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.
Задание проверяет решение текстовой задачи на движение: скорость сближения равна сумме скоростей, когда автомобили едут навстречу.
За первые 3 часа первый автомобиль проедет 55 · 3 = 165 км. Останется 290 − 165 = 125 км; после выезда второго время до встречи равно 125 ÷ (55 + 70) = 1 час. Первый автомобиль проедет всего 55 · 4 = 220 км.
Ответ: 220.
Первый час автомобиль ехал со скоростью 120 км/ч, следующие три часа — со скоростью 100 км/ч, а затем один час — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Задание проверяет вычисление средней скорости на всём пути. За пять часов автомобиль проехал 120 · 1 + 100 · 3 + 40 · 1 = 460 км. Средняя скорость равна общему пути, делённому на общее время: 460 ÷ 5 = 92 км/ч.
Ответ: 92.
Два человека одновременно отправляются из одного дома по одной дороге на прогулку до опушки леса, находящейся в 1,5 км от дома. Первый идёт со скоростью 2,4 км/ч, а второй — со скоростью 4,8 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от дома произойдёт их встреча? Ответ дайте в километрах.
Задание проверяет решение задачи на движение в противоположных направлениях. Второй человек добирается до опушки за 1,5 ÷ 4,8 = 0,3125 ч. За это время первый проходит 2,4 · 0,3125 = 0,75 км, а между ними остаётся 1,5 − 0,75 = 0,75 км. При движении навстречу скорость сближения равна 2,4 + 4,8 = 7,2 км/ч, поэтому они встретятся через 0,75 ÷ 7,2 ч после разворота второго. Первый пройдёт ещё 2,4 · (0,75 ÷ 7,2) = 0,25 км и встретится со вторым на расстоянии 0,75 + 0,25 = 1 км от дома. Ответ: 1.
Смешали 3 кг 30-процентного раствора вещества с 7 кг 10-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Задание проверяет умение находить концентрацию смеси. В 3 кг раствора содержится 3 · 0,30 = 0,9 кг вещества, а в 7 кг — 7 · 0,10 = 0,7 кг.
Всего вещества 1,6 кг, масса смеси 10 кг. Концентрация равна 1,6 / 10 · 100% = 16%.
Ответ: 16.
Из городов A и B, расстояние между которыми равно 320 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 2 часа
на расстоянии 170 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.
Задача проверяет решение задачи на встречное движение. За 2 часа автомобиль из города B проехал 170 км, значит, расстояние от A до места встречи равно 320 − 170 = 150 км.
Скорость автомобиля из A: v = s/t = 150/2 = 75 км/ч.
Ответ: 75.
В сосуд, содержащий 11 кг 28-процентного водного раствора вещества, добавили 3 кг воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Задание проверяет умение находить концентрацию раствора в процентах. В 11 кг раствора вещества было 11 × 0,28 = 3,08 кг. После добавления воды масса раствора стала 11 + 3 = 14 кг, а масса вещества не изменилась. Концентрация равна 3,08 / 14 × 100% = 22%. Ответ: 22.
Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 20 вопросов теста, а Ваня — на 21. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 5 минут. Сколько вопросов содержит тест?
Задание проверяет составление уравнения по скорости работы: время выполнения теста равно числу вопросов, делённому на скорость ответов.
Пусть в тесте n вопросов. Петя затратил n/20 ч, Ваня — n/21 ч; разница составляет 5 минут, то есть 1/12 ч.
Получаем n/20 − n/21 = 1/12. Так как 1/20 − 1/21 = 1/420, то n = 420/12 = 35.
Ответ: 35
Смешали 7 кг 25-процентного раствора вещества с 8 кг 10-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Проверяется расчёт концентрации смеси: нужно найти массу вещества и разделить её на общую массу раствора.
В первом растворе содержится 7 · 0,25 = 1,75 кг вещества, во втором — 8 · 0,10 = 0,8 кг. Всего это 2,55 кг вещества в 15 кг раствора; концентрация равна 2,55/15 · 100% = 17%.
Ответ: 17.
