Задание 9 ЕГЭ по профильной математике

Область определения функции: x ≥ 0. При x > 0 производная равна y′ = 24 − (3/2)√x.

Найдём стационарную точку: 24 − (3/2)√x = 0, откуда √x = 16 и x = 256.

При 0 < x < 256 производная положительна, а при x > 256 — отрицательна.

Функция возрастает до точки 256 и убывает после неё, поэтому x = 256 — точка максимума.

Ответ: 256.

Значение производной f′(x₀) равно угловому коэффициенту касательной.

На касательной отмечены точки с координатами (−3; 1) и (2; 3).

Вычислим её угловой коэффициент: k = (3 − 1)/(2 − (−3)) = 2/5 = 0,4.

Ответ: 0,4.

Производная отрицательна в тех отмеченных точках, где график имеет наклон вниз при движении слева направо.

На рисунке это точки x₁, x₂, x₄, x₅, x₆, x₈ и x₉.

Всего таких точек 7.

Ответ: 7.

Найдём производную: y′ = 3x² − 40x + 100.

Решим уравнение y′ = 0: 3x² − 40x + 100 = 0, откуда x = 10/3 или x = 10.

Поскольку y′ = 3(x − 10/3)(x − 10), производная положительна при x < 10/3 и x > 10, отрицательна при 10/3 < x < 10.

При x = 10 производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому это точка минимума.

Ответ: 10.

Область определения: x > 4. Найдём производную: y′ = 9/(x − 4) − 9.

Уравнение y′ = 0 равносильно 1/(x − 4) = 1, откуда x = 5.

При 4 < x < 5 производная положительна, а при x > 5 — отрицательна.

В точке x = 5 функция переходит от возрастания к убыванию, поэтому это точка максимума.

Ответ: 5.

Найдём производную: y′ = 3x² − 300 = 3(x − 10)(x + 10).

Стационарные точки определяются уравнением y′ = 0: x = −10 или x = 10.

Производная положительна при x < −10 и x > 10, отрицательна при −10 < x < 10.

При x = 10 производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому функция имеет минимум в этой точке.

Ответ: 10.

Логарифм определён при (x + 3)⁵ > 0, то есть при x > −3.

На этой области ln((x + 3)⁵) = 5 ln(x + 3), поэтому y′ = 5 − 5/(x + 3).

Решим уравнение y′ = 0: 1/(x + 3) = 1, откуда x = −2.

При −3 < x < −2 производная отрицательна, а при x > −2 — положительна.

В точке x = −2 функция переходит от убывания к возрастанию, поэтому это точка минимума.

Ответ: −2.

Найдём производную: y′ = −3 sin x − 5.

Так как sin x ≥ −1, получаем y′ ≤ 3 − 5 = −2 < 0.

Следовательно, функция убывает на всём заданном отрезке и принимает наименьшее значение на его правом конце, при x = 0.

Вычислим: y(0) = 3 cos 0 − 5 · 0 + 5 = 3 + 5 = 8.

Ответ: 8.

Точка максимума определяется сменой знака производной с плюса на минус.

y′ = 3x² − 300 = 3(x − 10)(x + 10).

y′ = 0 при x = −10 и x = 10.

При x < −10 производная положительна, а при −10 < x < 10 — отрицательна.

Значит, x = −10 — точка максимума.

Ответ: −10.

Если производная положительна на интервале, функция на нём возрастает.

На отрезке [−2; 3] график f′(x) расположен выше оси абсцисс, поэтому f′(x) > 0.

Следовательно, f(x) возрастает на всём данном отрезке.

Наибольшее значение достигается на его правом конце, при x = 3.

Ответ: 3.

Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции.

При x = −2 график убывает, поэтому f′(−2) < 0.

При x = 3 график также убывает, поэтому f′(3) < 0.

При x = 1 и x = 4 график возрастает, причём при x = 4 касательная имеет больший положительный наклон.

Следовательно, наибольшая производная среди указанных точек — при x = 4.

Ответ: 4.

Найдём производную: y′ = −10 sin x + 36/π.

На отрезке [−2π/3; 0] выполняется sin x ≤ 0, поэтому y′ ≥ 36/π > 0.

Функция возрастает, значит, наименьшее значение достигается при x = −2π/3.

y(−2π/3) = 10 · (−1/2) + 36 · (−2π/3)/π − 6 = −5 − 24 − 6 = −35.

Ответ: −35.

Точка экстремума определяется сменой знака производной.

На отрезке [1; 6] график f′(x) пересекает ось абсцисс только при x = 4.

Слева от этой точки производная положительна, справа — отрицательна.

Следовательно, при x = 4 возрастание функции сменяется убыванием: это точка максимума.

Ответ: 4.

Производная f′(x₀) равна угловому коэффициенту касательной: k = Δy/Δx.

На касательной отмечены точки (−4; 1) и (4; 3).

Поэтому f′(x₀) = (3 − 1)/(4 − (−4)) = 2/8 = 0,25.

Ответ: 0,25.

На данном отрезке 12x > 0, поэтому функция определена. Найдём производную: y′ = 12 − 1/x = (12x − 1)/x.

Производная равна нулю при x = 1/12; эта точка принадлежит отрезку [1/24; 5/24].

При x < 1/12 производная отрицательна, а при x > 1/12 положительна, поэтому наименьшее значение достигается при x = 1/12.

y(1/12) = 1 − ln 1 + 4 = 5.

Ответ: 5.

Функция непрерывна на [0; 40]. При x > 0 её производная равна y′ = (3/2)√x − 6.

Решим уравнение y′ = 0: √x = 4, откуда x = 16.

На (0; 16) производная отрицательна, а на (16; 40) положительна. Значит, функция убывает до x = 16 и затем возрастает.

Наименьшее значение на отрезке: y(16) = 16 · 4 − 6 · 16 + 3 = −29.

Ответ: −29.

Функция f(x) убывает на промежутках, где её производная f′(x) отрицательна.

На рисунке этим промежуткам соответствуют участки графика производной ниже оси абсцисс.

Из отмеченных точек на таких участках расположены только x₄ и x₅. Их количество равно 2.

Ответ: 2.

Область определения: x > 2. Производная функции равна y′ = 1/(x − 2) − 5.

Решим уравнение y′ = 0: 1/(x − 2) = 5, откуда x = 2 + 1/5 = 2,2.

При 2 < x < 2,2 производная положительна, а при x > 2,2 отрицательна.

Функция сначала возрастает, затем убывает, поэтому x = 2,2 — точка максимума.

Ответ: 2,2.

Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной: f′(x₀) = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).
На касательной отмечены точки (−3; 1) и (2; 7).
f′(x₀) = (7 − 1)/(2 − (−3)) = 6/5 = 1,2.
Ответ: 1,2.

Если f′(x) < 0 на промежутке, то функция f(x) на нём убывает.
На всём отрезке [−2; 3] график производной расположен ниже оси абсцисс, поэтому f′(x) < 0.
Следовательно, f(x) убывает и принимает наименьшее значение на правом конце отрезка, при x = 3.
Ответ: 3.