Задание 8 ЕГЭ по профильной математике

Приведём углы: $\sin 164°=\sin (180°-16°)=\sin 16°$, $\sin 82°=\cos 8°$.

Знаменатель: $\sin 8°\cdot \cos 8°=\frac{1}{2}\sin 16°$. Тогда $\frac{3\sin 16°}{\frac{1}{2}\sin 16°}=6$.

Разность логарифмов с одним основанием — логарифм частного: ${\log }_{\mathrm{0,6}}\frac{50}{18}={\log }_{\mathrm{0,6}}\frac{25}{9}$.

$\frac{25}{9}={\left(\frac{5}{3}\right)}^2={\left(\frac{3}{5}\right)}^{-2}={\mathrm{0,6}}^{-2}$, поэтому значение равно $-2$.

${25}^{2\sqrt{8}+3}=5^{2(2\sqrt{8}+3)}=5^{4\sqrt{8}+6}$.

При умножении степеней с одним основанием показатели складываются: $5^{4\sqrt{8}+6-3-4\sqrt{8}}=5^3=125$.

Применим формулы sin 2α = 2 sin α cos α и cos(90° − α) = sin α.
cos 56° = sin 34°, sin 68° = 2 sin 34° cos 34°.
3 sin 68° / (cos 34° · cos 56°) = 6 sin 34° cos 34° / (cos 34° · sin 34°) = 6.
Ответ: 6.

Используем формулу sin α cos α = sin 2α / 2.
5√2 sin(3π/8) · cos(3π/8) = (5√2/2) · sin(3π/4).
sin(3π/4) = √2/2, поэтому значение выражения равно (5√2/2) · (√2/2) = 5/2 = 2,5.
Ответ: 2,5.

Используем формулу 1 − 2 sin² α = cos 2α.
√2 − 2√2 sin²(15π/8) = √2 · cos(15π/4).
По периодичности косинуса cos(15π/4) = cos(7π/4) = √2/2.
Следовательно, значение выражения равно √2 · (√2/2) = 1.
Ответ: 1.

Используем правила (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ и aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.
Представим основания как степени двойки: 64 = 2⁶, 16 = 2⁴.
(64⁹)³ / (16⁵)⁸ = 2^(6 · 9 · 3) / 2^(4 · 5 · 8) = 2^(162 − 160) = 2² = 4.
Ответ: 4.

Применим формулы sin 2α = 2 sin α cos α и sin(90° − α) = cos α.
sin 154° = 2 sin 77° cos 77°, sin 13° = cos 77°.
4 sin 154° / (sin 77° · sin 13°) = 8 sin 77° cos 77° / (sin 77° · cos 77°) = 8.
Ответ: 8.

Применим свойство суммы логарифмов: log₂ a + log₂ b = log₂(ab), где a > 0, b > 0.
log₂ 6,4 + log₂ 10 = log₂(6,4 · 10) = log₂ 64.
Поскольку 64 = 2⁶, получаем log₂ 64 = 6.
Ответ: 6.

Используем формулу двойного угла: sin 2α = 2 sin α cos α.
√2 · sin(7π/8) · cos(7π/8) = (√2/2) · sin(7π/4).
По формуле приведения sin(7π/4) = −sin(π/4) = −√2/2.
Следовательно, значение выражения равно (√2/2) · (−√2/2) = −1/2.
Ответ: −0,5.

Применим формулу двойного угла: 2cos² α − 1 = cos 2α.
2√3 · cos²(13π/12) − √3 = √3 · cos(13π/6).
По периодичности косинуса cos(13π/6) = cos(2π + π/6) = cos(π/6) = √3/2.
Значение выражения равно √3 · √3/2 = 3/2.
Ответ: 1,5.

Используем формулу двойного угла: 2 sin α cos α = sin 2α.
При α = 82° получаем 8 sin 82° · cos 82° = 4 sin 164°.
Поскольку sin 164° ≠ 0, выражение равно 4 sin 164° / sin 164° = 4.
Ответ: 4.

Представим 25 как 5² и применим свойства степеней: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
5^(0,06) · 25^(0,97) = 5^(0,06) · (5²)^(0,97) = 5^(0,06) · 5^(1,94).
Складываем показатели: 5^(0,06 + 1,94) = 5² = 25.
Ответ: 25.

Применим формулу 1 − 2sin²α = cos(2α).

4√2 − 8√2 sin²(7π/8) = 4√2(1 − 2sin²(7π/8)) = 4√2 cos(7π/4).

Так как cos(7π/4) = √2/2, получаем 4√2 · √2/2 = 4.

Ответ: 4.

Используем формулу двойного угла: 2sinα cosα = sin(2α).

8sin64° · cos64° = 4sin128°.

Тогда (8sin64° · cos64°)/sin128° = 4sin128°/sin128° = 4, поскольку sin128° ≠ 0.

Ответ: 4.

По формуле приведения sin22° = cos68°.

По формуле двойного угла sin136° = 2sin68° · cos68°.

Следовательно, (2sin136°)/(sin68° · sin22°) = (4sin68° · cos68°)/(sin68° · cos68°) = 4. Знаменатель положителен.

Ответ: 4.

Используем свойство разности логарифмов: logₐb − logₐc = logₐ(b/c), где a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0.

log₃162 − log₃2 = log₃(162/2) = log₃81.

Поскольку 81 = 3⁴, имеем log₃81 = 4.

Ответ: 4.

Представим 14 = 2 · 7 и применим свойства степеней: (ab)ᶜ = aᶜbᶜ, aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.

(14^(6,4) · 7^(−5,4))/2^(4,4) = (2^(6,4) · 7^(6,4) · 7^(−5,4))/2^(4,4).

Получаем 2^(6,4 − 4,4) · 7^(6,4 − 5,4) = 2² · 7 = 28.

Ответ: 28.

Для положительных чисел корни одной степени можно умножать и делить: ⁴√a · ⁴√b / ⁴√c = ⁴√(ab/c).
⁴√8 · ⁴√48 / ⁴√24 = ⁴√(8 · 48/24).
Получаем ⁴√16 = 2, так как 2⁴ = 16.
Ответ: 2.

По определению логарифма logₐ b — показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b.
(⁶√13)⁶ = 13, поэтому log с основанием ⁶√13 от числа 13 равен 6.
Значение выражения равно 6 · 6 = 36.
Ответ: 36.